লেল্যান্ড নাম্বার
নাম্বার থিওরিতে লেল্যান্ড নাম্বার (Leyland Number) নামে একটি সংখ্যার কথা জানা যায়। লেল্যান্ড নাম্বার এমন একটি নাম্বার, যার আকারটি নিমণরূপ:
কখ + খক
শর্ত হচ্ছে, এখানে ক ও খ ১-এর চেয়েবড়পূর্ণসংখ্যাহতেহবে, তবে ক ও খ একই কিংবাভিন্নসংখ্যাহতেপারবে। এ ক্ষেত্রে দেখাযাচ্ছে, ক কিংবা খ কখনই ২-এর চেয়ে ছোটহতেপারবেনা, তবে ২-এর চেয়েবড়হতেপারবে। প্রথমেআমরাক = ২ এবং খ = ২ধরতেপারি।কারণ, ক ও খ-এরমান একই হতেবাধা নেই। এ ক্ষেত্রেআমরাপাবসবচেয়ে ছোট লেল্যান্ডনাম্বারটি। আর এই নাম্বারটিহচ্ছে ক খ + খ ক = ২ ২ + ২ ২ = ৪ + ৪ =৮। অতএবআমরাবলতেপারি, ৮ হচ্ছেপ্রথমবাসবচেয়ে ছোট লেল্যান্ডনাম্বার। এবার ক = ২ এবং খ = ৩ ধরেআমরাপাবদ্বিতীয় লেল্যান্ডনাম্বার ক খ + খ ক = ২ ৩ + ৩ ২ = ৮ + ৯ = ১৭।আবার ক = ৩ এবং খ = ৩ ধরেআমরাআরেকটি লেল্যান্ডনাম্বারটিপাই ৩ ৩ + ৩ ৩ = ২৭ + ২৭ = ৫৪। আবারএকইভাবে ক = ২ এবং খ = ৪ ধরলেআরেকটি লেল্যান্ডনাম্বার হবে ২ ৪ + ৪ ২ = ১৬ + ১৬ = ৩২। এভাবে ক ওখ-এরবিভিন্নমানধরেআমরাপাবঅসংখ্য লেল্যান্ডনাম্বার। এগুলো ছোট থেকে বড়সাজিয়েলিখলে লেল্যান্ডনাম্বারগুলোহবে ৮, ১৭, ৩২, ৫৪, ৫৭, ১০০, ১৪৫, ১৭৭, ৩২০, ৩৬৮, ৫১২, ৫৯৩, ৯৪৫, ১১২৪, ...।
ক ও খ-এরজন্য এ ক্ষেত্রেঅসংখ্য পূর্ণসংখ্যাআমরাপাব, যেগুলোরমান ১-এর চেয়েবড়। অতএবসহজেইঅনুমেয়আমরাপাবঅসংখ্য লেল্যান্ডনাম্বার। এখানেএকটিবিষয় গুরুত্বের সাথে মনেরাখতেহবে- ক ও খ-এরমান যেনো সব সময়ই ১-এর চেয়েবড়হয়। তানাহলেপ্রতিটিধনাত্মকপূর্ণসংখ্যাই লেল্যান্ডনাম্বার হয়েযাবে। কারণ, ক বা খ-এরমান ১ ধরলেপ্রতিটি লেল্যান্ডনাম্বার ক ১ + ১ ককিংবা ১ খ + খ ১ আকারধারণকরবে।
এখানেলক্ষকরারবিষয়, ওপরেপাওয়া লেল্যান্ডনাম্বারগুলোরমধ্যে১৭ ও ৫৯৩অবশ্যই মৌলিকসংখ্যাবাপ্রাইমনাম্বার। এগুলোকে ১ এবং ওই সংখ্যাছাড়াঅন্য কোনোসংখ্যাদিয়েভাগকরাযায়না। আমরাযদি লেল্যান্ডসংখ্যাগুলো থেকে প্রাইমনাম্বারগুলো বেরকরেনিই,তবেপ্রথমদিকের লেল্যান্ডপ্রাইমনাম্বারগুলোপাব : ১৭, ৫৯৩, ৩২৯৯৩, ২০৯৭৫৯৩, ৮৫৮৯৯৩৫৬৮১, ৫৯৬০৪৬৪৪৭৮৩৩৫৩২৪৯, ৫২৩৩৪৭৬৩৩০২৭৩৬০৫৩৭২১৩৬৮৭১৩৭, ৪৩১৪৩৯৮৮৩২৭৩৯৮৯৫৭২৭৯৩৪২৪১৯৭৫০৩৭৪৬০০১৯৩, ...। এগুলোকেযদি আমরাধারাবাহিকভাবে লেল্যান্ডনাম্বারেরআকারেলিখি,তবেযথাক্রমে লিখতেপারি
৩২+২৩, ৯২+২৯, ১৫২+২১৫, ২১২+২২১, ৩৩২+২৩৩, ২৪৫+৫২৪, ৫৬৩+৩৫৬, ৩২১৫+১৫৩২...।
আমরাযদি ক ২ + ২ ক সূত্রে ক-এরমানযথাক্রমে ৩, ৯, ১৫, ২১, ৩৩, ২০০৭, ২১২৭, ৩৭৫৯, ...ইত্যাদি বসাই,তবেওপরেউল্লিখিতপ্রাইমনাম্বারগুলোপাব।
এখনপ্রশ্নহচ্ছে, সবচেয়েবড় লেল্যান্ডপ্রাইমনাম্বার কোনটি? এক কথায়এরউত্তর দেয়া কঠিন। কারণ,যতইদিনযাচ্ছে ততই মানুষবড় থেকে আরওবড় লেল্যান্ডপ্রাইমনাম্বারটিরকথাজানতেপারছে। যেমন- ২০১২ সালেরনভেম্বরপর্যন্তসময়েআমরাসবচেয়েবড় যে লেল্যান্ডপ্রাইমনাম্বারটিরকথাজানতেপারি, সেটিছিল ৫১২২ ৬৭৫৩ + ৬৭৫৩ ৫১১২ । এরমানএখানেলিখেপ্রকাশকরাকঠিন। কারণ, এ সংখ্যাটিলিখেপ্রকাশকরতেহলেআমাকেলিখতেহবে ২৫০৫০ অঙ্কের বাডিজিটেরএকটিসংখ্যা। ২০১২ সালেরডিসেম্বরেএসেআমরাজানলামএর চেয়েওবড়একটি লেল্যান্ডপ্রাইমনাম্বারেরকথা। সেটিহচ্ছে ৮৬৫৬ ২৯২৯ + ২৯২৯ ৮৬৫৬ ।আর এ সংখ্যাটিলিখতেপ্রয়োজন ৩০০০৮টি ডিজিটবাঅঙ্ক। আরওবড়ধরনের সম্ভাব্য যে লেল্যান্ডপ্রাইমনাম্বারেরকথা শোনাযায়তারমধ্যে আছে ৩১৪৭৩৮ ৯ + ৯ ৩১৪৭৩৮ , যাররয়েছে৩০০০৩৩৭টি অঙ্ক। এমনিআরেকটি সম্ভাব্য বড়ধরনের লেল্যান্ডপ্রাইমনাম্বার হচ্ছে ৩২৮৫৭৪ ১৫ + ১৫ ৩২৮৫৭৪, যারডিজিটসংখ্যা ৩৮৬৪৩৪টি।
ব্রাডিনাম্বার
আমরাআগের কোনোপর্বে ফ্যাবোনাচ্চিনাম্বার নিয়ে এ ধারাবাহিক লেখায়আলোচনাকরেছি। যারা এই নাম্বার সম্পর্কে প্রথমশুনলেন, তাদেরভয়পাওয়ারকিছু নেই। কারণ,এখানেশুরুতেইফ্যাবোনাচ্চিনাম্বারেরপরিচিতিতুলেধরব।এরপরব্রাডিনাম্বারেরআলোচনায়যাব।
প্রথমেই ১ সংখ্যাটিপাশাপাশি দুইবারবসিয়েপাই: ১, ১। এই দুইটিএকসাথে যোগকরলেপাই ২। প্রথমদুইটিরপাশে এই ২বসালেআমরাপাই ১, ১, ২। এই তিনটির শেষের দুইটির যোগফল ৩-কে আগেরতিনটিরপাশেবসালেহয় ১, ১, ২, ৩। এরপাশে শেষের দুইটির যোগফল ৫ বসালেসংখ্যাধারাটিহয় ১, ১, ২, ৩, ৫। এবারএরপাশে শেষের দুইটির যোগফল ৮ বসালেপাই১,১, ২, ৩, ৫, ৮। এভাবেআমরাযদি শেষ দুইটিসংখ্যার যোগফলএর সাথে বারবারবসিয়ে যেতে থাকি,তবেআমরাপাবঅসংখ্য সংখ্যারএকটিসংখ্যাধারাবানাম্বার সিরিজ : ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪ ...। এই সিরিজেরমধ্যে থাকানাম্বারগুলোকেইবলাহয়ফ্যাবোনাচ্চিনাম্বার। লক্ষকরলে দেখাযাবে, এই সিরিজে ৪, ৭, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৪, ১৫, ...ইত্যাদি নাম্বারগুলো থাকার কোনো সম্ভাবনা নেই। অতএব এগুলোকেআমরাফ্যাবোনাচ্চিনাম্বার বলতেপারবনা। ফ্যাবোনাচ্চিসিরিজে থাকা সবগুলোসংখ্যাইএকেকটিফ্যাবোনাচ্চিনাম্বার।
তাহলেআমাদেরফ্যাবোনাচ্চিনাম্বার সিরিজটিহচ্ছে :
১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪,...।
এখানে এই সংখ্যাসিরিজ থেকে যেকোনোএকটিসংখ্যানিয়েএরআগেরসংখ্যাটিদিয়েযদি ভাগকরি,তবেআমরাএকটিঅনুপাতসংখ্যাপাব। যেমন-
৫ ভাগ৩ =১.৬৬৬৬...
৮ ভাগ ৫ = ১.৬০০০...
১৩ ভাগ ৮ = ১.৬২৫০...
২১ ভাগ১৩ =১.৬১৫৩৮৪...
৩৪ ভাগ ২১ = ১.৬১৯০৪৭...
এখানেলক্ষণীয়, উপরেরপ্রতিটিঅনুপাতসংখ্যাআমাদেরসুপরিচিত গোল্ডেন রেশিওরকাছাকাছি। আমরাজানি, গোল্ডেন রেশিও = ১.৬১৮০৩৩৯৮৮৭৪৯৮৯৪৮৪৮২০৪৫৮৬৮...।
এবার দেখাযাকফ্যাবোনাচ্চিনাম্বার সিরিজ থেকে আরওবড়ছয়টি ক্রমিকফ্যাবোনাচ্চিনাম্বার নিলে এই অনুপাতেরঅবস্থাটা কেমন দাঁড়ায়। ২১৭৮৩০৯ থেকে শুরুকরেছয়টি ক্রমিকফ্যাবোনাচ্চিসংখ্যাহচ্ছে:
২১৭৮৩০৯
৩৫২৪৫৭৮
৫৭০২৮৮৭
৯২২৭৪৬৫
১৪৯৩০৩৫২
২৪১৫৭৮১৭
এখনআগেরমতো এই সংখ্যাসিরিজ থেকে যেকোনোএকটিনিয়েএরআগেরসংখ্যাদিয়েভাগকরলেআমরাএকেকটিঅনুপাতসংখ্যাপাব, যাকার্যত গোল্ডেন রেশিওরপ্রায়সমান। এখানে-
৩৫২৪৫৭৮ ভাগ ২১৭৮৩০৯ = ১.৬১৮০৩৩৯৮৮৭৪৯৮৮৯০৯৭০৪৭২...
৫৭০২৮৮৭ ভাগ ৩৫২৪৫৭৮ = ১.৬১৮০৩৩৯৮৮৭৪৯৮৫৮৮৪৮৩৫০০...
৯২২৭৪৬৫ ভাগ ৫৭০২৮৮৭ = ১.৬১৮০৩৩৯৮৮৭৪৯৯০৮৫৯৮৯২৫৪...
১৪৯৩০৩৫২ ভাগ ৯২২৭৪৬৫ = ১.৬১৮০৩৩৯৮৮৭৪৯৮৮৯৫৯৫৮৯৬৫...
২৪১৫৭৮১৭ ভাগ ১৪৯৩০৩৫২ = ১.৬১৮০৩৩৯৮৮৭৪৯৮৯৬৮৫৪৪০৭৭...
এবারআমরাজানবব্রাডিনাম্বারেরকথা।
আমরাযদি ২৩০৮ এবং ৪২৬১ এই দুইটিসংখ্যানিয়েফ্যাবোনাচ্চিসংখ্যারএকটিসিরিজ তৈরিকরি, তবেআমরাপাইনিচেরসংখ্যাধারা :
২৩০৮, ৪২৬১, ৬৫৬৯, ১০৮৩০, ১৭৩৯৯, ২৮২২৯, ৪৫৬২৮, ৭৩৮৫৭, ১১৯৪৮৫, ১৯৩৩৪২, ৩১২৮২৭, ৫০৬১৬৯, ৮১৮৯৯৬, ১৩২৫১৬৫, ২১৪৪১৬১, ৩৪৬৯৩২৬, ৫৬১৩৪৮৭, ৯০৮২৮১৩, ১৪৬৯৬৩০০, ২৩৭৭৯১১৩, ৩৮৪৭৫৪১৩, ৬২২৫৪৫২৬, ১০০৭২৯৯৩৯, ১৬২৯৮৪৪৬৫, ২৬৩৭১৪৪০৪, ৪২৬৬৯৮৮৬৯, ৬৯০৪১৩২৭৩, ১১১৭১১২১৪২, ১৮০৭৫২৫৪১৫, ২৯২৪৬৩৭৫৫৭, ৪৭৩২১৬২৯৭২, ৭৬৫৬৮০০৫২৯, ...।
এসবপ্রতিটিসংখ্যার ক্ষেত্রেএরআগেরসংখ্যাটিরঅনুপাত বেরকরলেযাপাওয়াযাবে,তা মোটামুটি গোল্ডেন রেশিওরসমানহবে। এগুলোকেবলাহয়ব্রাডিনাম্বার। মনেরাখতেহবে,ব্রাডিনাম্বার সিরিজেরশুরু ২৩০৮ ও ৪২৬১ দিয়ে।
গণিতেরভাষায়-
ব্রাডিনাম্বার = সিরিজেএরআগেরনাম্বার + তারওআগেরনাম্বার, যে সিরিজশুরু ২৩০৮ ও ৪২৬১ দিয়ে। আর এই সিরিজগঠিতফ্যাবোনাচ্চিসিরিজগঠনেরনিয়মঅনুসারে। গণিতেরভাষায়বলেতেপারি-
ক-তমব্রাডিনাম্বার = (ক-১)তমব্রাডিনাম্বার + (ক-২)তমব্রাডিনাম্বার।