৫, ১৫, ২৫, ৩৫, ৪৫, ..., ৮৫, ৯৫, ১০৫, ১১৫, ... ২০৫, ৮২৫... ইত্যাদি এমন অসংখ্য সংখ্যা রয়েছে, যেগুলোর শেষ অঙ্ক ৫। আমরা এখানে শিখব কী করে সহজে ও দ্রুত সময়ে এসব সংখ্যার বর্গফল বের করা যায়।
প্রথমেই ধরা যাক, জানতে চাই ২৫২ = কত?
মনে রাখতে হবে শেষে যেসব সংখ্যায় ৫ আছে, সেগুলোর বর্গফলের শেষে অবশ্যই সব সময় ২৫ থাকবে। তাহলে নির্ণেয় বর্গফলে এই ২৫-এর আগে কী বসবে, তা নির্ণয় করতে পারলেই আমাদের নির্ণেয় বর্গফল বের করার কাজ শেষ হয়ে যাবে। আর এটি বের করা খুবই সহজ। আমরা ২৫-এর বর্গফল জানতে চাই। এই ২৫ থেকে ডানের অঙ্ক ৫ বাদ দিলে থাকে ২। এই ২-এর চেয়ে ১ বেশি ৩ দিয়ে গুণ করলেই আমরা পেয়ে যাব ২৫-এর আগে কত বসবে তা। অতএব এ ক্ষেত্রে ২৫-এর আগে বসবে ৬, যা ২ ও ৩-এর গুণফল। তাহলে সহজেই জানা হলো ২৫২ = ৬২৫।
এভাবে ৬৫-এর বর্গফলের শেষে অবশ্যই বসবে ২৫। আর এর আগে প্রথম দিকে বসবে ৬৫-এর প্রথমে থাকা ৬ এবং এর চেয়ে ১ বেশি সংখ্যা ৭-এর গুণফল। অর্থাৎ ৬ ও ৭-এর গুণফল ৪২। তাহলে ৬৫২ = ৪২২৫।
এভাবে আমরা শেষে ৫ থাকা যেকোনো সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করতে পারব। তবে এ ধরনের যেসব সংখ্যা দুই বা তিন অঙ্কের, সেগুলোর বর্গ নির্ণয়ই সহজে ও দ্রুত সম্পন্ন করা সম্ভব। এর চেয়ে বেশি অঙ্কের এ ধরনের সংখ্যার বর্গ নির্ণয়ে এই নিয়ম খাটে, তবে সে ক্ষেত্রে একটু সময় লাগবে বই কি! আগেই জেনেছি- যেসব সংখ্যার শেষের অঙ্ক ৫, সেসব অঙ্কের বর্গফলের শেষে সব সময় থাকবে ২৫। অতএব এসব সংখ্যার বর্গ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে আমাকে শুধু ভাবতে হবে, এই ২৫-এর আগে কত বসবে তা নির্ণয় করা নিয়ে।
স্পষ্টতই, ১৫-এর বর্গ নির্ণয়ের বেলায় প্রথমে বসবে ১৫-এর প্রথম অঙ্ক ১ ও এর পরের সংখ্যা ২-এর গুণফল অর্থাৎ ২। অতএব, ১৫২ = ২২৫।
৭৫-এর বর্গফলে প্রথমে বসবে ৭ ও ৮-এর গুণফল, অর্থাৎ ৫৬। অতএব, ৭৫২ = ৫৬২৫। একইভাবে ৯৫-এর বর্গফলে প্রথমে বসবে ৯ ও এর পরের সংখ্যা ১০-এর গুণফল, অর্থাৎ ৯০। অতএব, ৯৫২ = ৯০২৫। একই নিয়মে ১০৫-এর বর্গফলে প্রথমে বসবে ১০ ও এর পরের সংখ্যা ১১-এর গুণফল ১১০। অতএব ১১৫২ = ১১০২৫। এভাবে তিন অঙ্কের যেসব সংখ্যার শেষ অঙ্ক ৫, সেগুলোর বর্গফল কত, তা সহজেই জানা যাবে। যেমন- ৯৯৫-এর বর্গ কত, তা আমরা এ নিয়ম ব্যবহার করে জেনে নিতে পারব। বর্ণিত নিয়ম মতে, ৯৯৫-এর বর্গফলের প্রথমে থাকবে ৯৯ ও ১০০-এর গুণফল বা ৯৯০০, আর এর শেষে তো আবশ্যিকভাবে ২৫ থাকছেই। অতএব সহজেই বলে দিতে পারি, ৯৯৫২ = ৯৯০০২৫।
এভাবে শেষে ৫ আছে এমন আরও অনেক বড় সংখ্যার বর্গফল আমরা বের করতে পারব। যেমন- ৮৭৩৫-এর বর্গফলে শেষের ২৫-এর আগে বসবে ৮৭৩ ও ৮৭৪-এর গুণফল, আর ৮৭৩ ও ৮৭৪-এর গুণফল বের করতে একটু সময় নেবে, তবে করা যাবে না তা নয়। যেমন- সাধারণ গুণের নিয়মে ৮৭৩ ও ৮৭৪ গুণ করলে গুণফল হবে ৭৬৩০০২। অতএব ৮৭৩৫২ = ৭৬৩০০২২৫। সহজেই অনুমেয় এ নিয়মে বড় বড় সংখ্যার বর্গ করতে গেলে বড় গুণের ব্যাপারটি থেকে যায়। তাই এ ধরনের বড় সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করার ক্ষেত্রে এই নিয়ম ব্যবহার না করে অন্য কোনো সহজ কৌশল বা নিয়ম খোঁজা ভালো।
যেসব সংখ্যার শেষ অঙ্ক ৫ নয়
এতক্ষণ আমরা জানলাম যেসব সংখ্যার শেষে ৫ আছে, সেগুলোর বর্গফল বের করার একটি মজার কৌশল। কিন্তু যেসব সংখ্যার শেষে ৫ নেই, সেসব সংখ্যার বর্গফল বের করার কি এ ধরনের কোনো বিকল্প কৌশল আছে? এর উত্তর, হ্যাঁ আছে। যেমন- ৯৪ সংখ্যাটির শেষ অঙ্কটি ৫ নয়। তেমনই ৩৭ বা ৫৬-এর শেষ অঙ্কও ৫ নয়। এসব সংখ্যার বর্গ বের করার বিকল্প পদ্ধতি কী?
ধরা যাক, আমরা জানতে চাই ৭৩-এর বর্গ কত? এখানে আমাদের মাথায় রাখতে হবে ২৫ ও ৫০ এই দুইটি সংখ্যাকে। প্রথমেই জানব ৭৩-এর বর্গফলের শেষ দুইটি অঙ্ক কী হবে। এখানে (৭৩ - ৫০)২ = ২৩২ = ৫২৯। এই ৫২৯-এর শেষ দুইটি অঙ্ক অর্থাৎ ২৯ হবে নির্ণেয় বর্গফলের শেষ দুইটি অঙ্ক, আর হাতে থাকবে ৫। এই ২৯-এর আগে বর্গফলের প্রথম দিকে বসবে (৭৩ - ২৫) + হাতে থাকা ৫ = ৪৮ + ৫ = ৫৩। অতএব ৭৩-এর বর্গ হচ্ছে ৫৩২৯।
এ ধরনের আরেকটি উদাহরণ দিই। জানতে চাই ৩৭২ = কত? এ ক্ষেত্রেও আমাদের কল্পনায় ২৫ ও ৫০ এই দুইটি সংখ্যা মাথায় রাখতে হবে। বর্ণিত নিয়ম মতে, নির্ণেয় বর্গফলে শেষে বসবে (৫০-৩৭)২ বা ১৩২ বা ১৬৯-এর শেষ দুইটি অঙ্ক ৬৯, আর হতে থাকবে ১। এই ৬৯-এর আগে বসবে (৩৭-২৫) + হাতে থাকা ১ = ১২ + ১ = ১৩। অতএব নির্ণেয় ৩৭২ = ১৩৬৯।
এই নিয়মে কিন্তু যেসব সংখ্যার শেষে ৫ থাকে, সেগুলোর বর্গও নির্ণয় করা যায়। যেমন- জানা যাবে ৩৫-এর বর্গ কত। এখানে শুরুতেই আগের মতো কল্পনা করি ২৫ ও ৫০ এই দুইটি সংখ্যা। ৩৫-এর বর্গফলের শেষে বসবে (৫০ - ৩৫)২ বা ১৫২ বা ২২৫-এর শেষ দুই অঙ্ক, অর্থাৎ ২৫ আর হাতে থাকবে ২। এই ২৫-এর আগে বসবে (৩৫-২৫) + হাতে থাকা ২ = ১০ + ২ = ১২। অতএব নির্ণেয় ৩৫২ = ১২২৫।
এবার দেখা যাক এই নিয়মে ৮৮-এর বর্গ কত হয়। ২৫ ও ৫০ সংখ্যা দুইটি মাথায় রাখি। এখানে বর্গফলের শেষে বসবে (৮৮ - ৫০)২ বা ৩৮-এর বর্গ বা ১৪৪৪-এর শেষ দুইটি অঙ্ক, অর্থাৎ ৪৪ নির্ণেয় বর্গফলের শেষ দুই অঙ্ক, আর হাতে থাকবে ১৪ এবং নির্ণেয় বর্গফলে এই ৪৪-এর আগে বসবে ৮৮ - ২৫ + হাতে থাকা ১৪ বা ৬৩ + ১৪ বা ৭৭। অতএব ৮৮২ = ৭৭৪৪।
এই ৮৮-এর বর্গ আমরা কল্পনায় ১০০ সংখ্যাটি মাথায় রেখেও ভিন্নভাবে করতে পারি। এ ক্ষেত্রে নির্ণেয় বর্গফলের শেষ দিকে বসবে (১০০ - ৮৮)২ বা ১২২ বা ১৪৪-এর শেষ দুই অঙ্ক ৪৪, আর হাতে থাকবে ১। আর এই ৪৪-এর আগে বসবে ৮৮ - ১২ + হাতে থাকা ১ = ৭৬ + ১ = ৭৭। অতএব ৮৮-এর বর্গ হচ্ছে ৭৭৪৪।
এভাবে ১০০ সংখ্যাটিকে মাথায় রেখে একই নিয়মে আমরা ৯২-এর বর্গ কত, তা জানতে পারব। এ ক্ষেত্রে নির্ণেয় বর্গফলের শেষ দুইটি অঙ্ক হবে (১০০ - ৯২)২ বা ৮২ বা ৬৪। আর এই ৬৪-এর আগে বসবে ৯২ - ৮ বা ৮৪। অতএব ৯২-এর বর্গ হচ্ছে ৮৪৬৪।
আজ আমরা প্রথমে জানলাম যেসব সংখ্যার শেষে ৫ আছে, সেসব সংখ্যার বর্গফল বের করার একটি মজার কৌশল। এরপর জানলাম ২৫ ও ৫০ এই দুইটি সংখ্যাকে একসাথে মাথায় রেখে কিংবা শুধু ১০০ সংখ্যাটি মাথায় রেখে দুই অঙ্কের যেকোনো সংখ্যার বর্গফল সহজেই দ্রুত বের করার আরেকটি ভিন্ন কৌশল
-গণিতদাদু