বর্গ করার একটি সহজ নিয়ম

আমরা কোনো একটি সংখ্যার বর্গ করে থাকি। কোনো সংখ্যার বর্গ করার অর্থ সে সংখ্যাকে সে সংখ্যা দিয়েই গুণ করে গুণফল বের করা। যেমন ২৫-এর বর্গ = ২৫ X ২৫ = ৬২৫। ১০-এর বর্গ = ১০ X ১০ = ১০০। আমরা গণিতের ভাষায় লিখি :
২৫২ = ২৫ X ২৫ = ৬২৫
১০২ = ১০ X ১০ = ১০০

অতএব, যেকোনো সংখ্যার বর্গফল বের করা তেমন কোনো কঠিন কাজ নয়। শুধু সে সংখ্যাটিকে সে সংখ্যা দিয়েই গুণ করলেই তা পেয়ে যাব। তবে অনেক ক্ষেত্রে এই বর্গফল সহজে পাওয়ার কিছু সহজ উপায় আছে। সেগুলো কাজে লাগালে গণিতের কাজ সহজতর হয়ে ওঠে। যদি বলি ১০০০০ কিংবা ৫০০০-এর বর্গ কত? এক্ষেত্রে ১০০০০-এর নিচে ১০০০০ বসিয়ে এবং ৫০০০-এর নিচে ৫০০০ বসিয়ে গুণফল বের করে বর্গফল পেতে যাওয়ার কোনো দরকার নেই। এমনটি করতে যাওয়া হবে বরং এক ধরনের বোকামি। এ ধরনের যেসব সংখ্যার ডান দিকে এক বা একাধিক শূন্য থাকে সেগুলোর বর্গফল বের করতে ডান দিকের শূন্যগুলো বাদ দিয়ে যা থাকে, তার বর্গ করে যে বর্গফল পাওয়া যায়, তার ডানে দেয়া সংখ্যার ডানের শূন্যের ২ গুণ পরিমাণ শূন্য বসালেই বর্গফল পেয়ে যাব।

১০০০০২ = ১০০০০০০০০
৫০০০২ = ২৫০০০০০০

এ ধরনের সংক্ষেপে বর্গফল বের করার বিষয়টি কমবেশি আমরা সবাই জানি। এখানে বিশেষ কিছু সংখ্যার সহজে বর্গফল বের করার নিয়মটাই জানাতে চাই।

লক্ষ করুন ৪৫, ১৫, ৬৫, ৩৫, ৮৫, ৭৫ এই ছয়টি সংখ্যার প্রত্যেকটির শেষে রয়েছে ৫। এ ধরনের অসংখ্য সংখ্যা রয়েছে যেগুলোর শেষ অঙ্কটি ৫। প্রশ্ন হচ্ছে, কি করে সংক্ষেপে এ ধরনের সংখ্যার বর্গফল বের করতে পারি।

মনে রাখবেন, যেসব সংখ্যার শেষ অঙ্ক ৫, সেসব সংখ্যার বর্গফলের শেষ দুটি অঙ্ক হবে ২৫। এখন প্রশ্ন, এই ২৫-এর আগে কত বসবে? এর উত্তর জানলেই বর্গফল পেয়ে যাব।

এক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে শেষ অঙ্ক ৫ বাদ দিলে এর আগে যা থাকবে সে সংখ্যাটিকে এর চেয়ে ১ বেশি এমন সংখ্যা দিয়ে গুণ করে গুণফলটি ২৫-এর বামে বসালেই কাঙ্ক্ষিত বর্গফল পেয়ে যাব।

ধরা যাক, আমরা ৭৫-এর বর্গফল কত তা জানতে চাই। অর্থাৎ জানতে চাই ৭৫২ = কত? লক্ষণীয়, এখানে ৭৫ সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক ৫ বাদ দিলে সংখ্যাটিতে থাকে ৭। এখন এই ৭-কে এর চেয়ে ১ বেশি ৮ দিয়ে গুণ করে পাই ৭ X ৮ = ৫৬। এই ৫৬-এর ডানে ২৫ বসালেই ৭৫-এর বর্গফল পেয়ে যাব।

: ৭৫২ = ৫৬২৫

একইভাবে ৯৫-এর বর্গফল বের করতে বর্গফলের প্রথমে বসবে ৯ X ১০ = ৯০ এবং এর ডানে বসবে ৫-এর বর্গ ২৫।

: ৯৫২ = ৯০২৫

তেমনিভাবে ১০৫-এর বর্গফল বের করতে বর্গফলের প্রথমে বসবে ১০ X ১১ = ১১০ এবং এর ডানে বসবে ৫-এর বর্গ ২৫।

: ১০৫২ = ১১০২৫

আবারো জানাই, যেসব অঙ্কের একদম ডানের অঙ্ক ৫ সেসব অঙ্কের বর্গফলের একদম ডানে সব সময় থাকবে ২৫। এর বামে বসবে ৫-এর বামে থাকা সংখ্যাটিকে এর চেয়ে ১ বেশি দিয়ে গুণ করে পাওয়া গুণফলটি।

২২৫২ = ৫০৬২৫
বর্গফল ৫০৬২৫-এর প্রথমে আছে ৫০৬, এর পর আছে ২৫
২২ X ২৩ = ৫০৬
৫ X ৫ = ২৫
একইভাবে ২২৪৫২ = ৫০৪০০২৫
এই বর্গফলের একদম ডানে ২৫ এবং এর বামে ৫০৪০০
এই ৫০৪০০ = ২২৪ X ২২৫ এবং ২৫ = ৫ X ৫
আশা করি, এ সহজ নিয়মটি বুঝতে আর অসুবিধা নেই। এ সহজ নিয়মটি অনুশীলন করুন, গণিতের কাজে গতি আনুন।

সহজে গুণ করার একটি কৌশল

ধরা যাক, আমাকে নিচের কয়েকটি গুণের কাজ করতে দেয়া হলো। লক্ষ করুন, এখানে সবক্ষেত্রেই দুই অঙ্কের সংখ্যাকে দুই অঙ্কের সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে দেয়া হয়েছে।

এক : ৪৩ X ৪৭ = কত?
দুই : ৬২ X ৬১ = কত?
তিন : ৩২ X ৩৮ = কত?
চার : ২৪ X ২৫ = কত?

লক্ষ করুন, প্রথম অঙ্কটিতে যে দুটি সংখ্যার গুণফল বের করতে দেয়া হয়েছে, সে সংখ্যা দুটিরই প্রথম অঙ্ক ৪, দ্বিতীয় গুণের কাজের সংখ্যা দুটির উভয়েরই প্রথম অঙ্ক ৬, তৃতীয়টিতে সংখ্যা দুটিরই প্রথম অঙ্ক ৩ এবং শেষের গুণের কাজের সংখ্যা দুটিরই প্রথম অঙ্ক ৪। এভাবে আমরা অসংখ্য গুণের কাজ করে থাকি যেখানে যে সংখ্যা দুটির গুণফল বের করব, সে সংখ্যা দুটিরই প্রথম অঙ্ক একই এবং প্রতিটি সংখ্যাই দুই অঙ্কের। এ ধরনের দুটি সংখ্যার সংক্ষেপে গুণ করার কৌশলই এখানে আমরা জানব।
ধরা যাক জানতে চাই ৩২ X ৩৮ = কত? লক্ষণীয়, এখানে সংখ্যা দুটিরই প্রথমে আছে একই অঙ্ক ৩ এবং শেষ অঙ্ক দুটি ভিন্ন ২ X ৮। এখানে গুণফলের প্রথমে বসবে ৩ ও এর পরবর্তী ক্রমিক সংখ্যা ৪-এর গুণফল অর্থাৎ ৩ X ৪ বা ১২। আর এই ১২-এর পর বসবে শেষ অঙ্ক দুটি ২ ও ৮-এর গুণফল ১৬। আমাদের কাঙ্ক্ষিত গুণফল হবে ১২১৬।

অতএব ৩২ X ৩৮ = ১২১৬

এখন যদি বলা হয় ৮১ X ৮৯ = কত? এখানে গুণন কাজের সংখ্যা দুটির প্রথম অঙ্ক ৮ অর্থাৎ একই। অতএব গুণফলের প্রথমে বসবে ৮ X ৯ = ৭২। আর গুণফলের শেষে বসবে শেষ দুই অঙ্ক ১ ও ৯-এর গুণফল = ০৯। এখানে ৯-কে লেখা হয়েছে ০৯। কারণ এ গুণফলকে ২ অঙ্কের আকারে প্রকাশ করতে হবে।

 ৮১ X ৮৯ = ৭২০৯

এভাবে সহজেই পেতে পারি :
৪৩ X ৪৭ = ২০২১ (প্রথমদিকের ২০ = ৪ X ৫, শেষের ২১ = ৩ X ৭)
৬২ X ৬১ = ৪২০২ (প্রথমদিকের ৪২ = ৬ X ৭, শেষের ০২ = ২ X ১)
৩২ X ৩৮ = ১২১৬ (প্রথমদিকের ১২ = ৩ X ৪, শেষের ১৬ = ২ X ৮)
২৪ X ২৫ = ০৬২০ (প্রথমদিকের ০৬ = ২ X ৩, শেষের ২০ = ৪ X ৫)

মনে রাখবেন, এই নিয়ম খাটবে না, যখন যে সংখ্যা দুটি গুণ করবো তাদের যেকোনো একটির কিংবা উভয়ের ডানে যদি শূন্য থাকে। যেমন ২০ X ২৯ = কত, এ গুণনের কাজটি এ নিয়মে করা যাবে না। তেমনি ২০ X ২০ = কত, তাও এ নিয়মে বের করা যাবে না। একইভাবে এ নিয়ম খাটবে যদি গুণের কাজে ব্যবহার করা সংখ্যাটির কোনো একটি বা উভয়ে একই অঙ্ক একাধিকবার থাকে। যেমন ২২ X ২৪ = কত, তা এ নিয়মে বের করা যাবে না। কারণ ২২ সংখ্যাটিতে ২ দুইবার ব্যবহার করা হয়েছে।


কজ ওয়েব
গণিতদাদু