ক্যালেন্ডারের পাতায় গণিতের মজা

ক্যালেন্ডারের পাতায় গণিতের যে মজার বিষয়টির কথা জানবো, তা দেখিয়ে আপনি নিজেকে অন্যের কাছে তুলে ধরতে পারবেন এক গণিত জাদুকর হিসেবে। গণিতের এই জাদুকরী খেলাটা খুবই সহজ। এজন্য শুধু প্রয়োজন একটি ক্যালেন্ডারের। কোনো ক্যালেন্ডারের একটি মাসের পাতা খুলুন। সেখানে মাস, দিন, তারিখ লেখা থাকে। অনেকটা নিচে যেভাবে আছে।

  ১ ২ ৩ ৪ ৫
৬ ৭ ৮ ৯ ১০ ১১ ১২
১৩ ১৪ ১৫ ১৬ ১৭ ১৮ ১৯
২০ ২১ ২২ ২৩ ২৪ ২৫ ২৬
২৭ ২৮ ২৯ ৩০ ৩১ ০ ০

৯ সংখ্যার মজা

আপনার বন্ধুকে বলুন ক্যালেন্ডারের পাতার পাশাপাশি ৯টি সংখ্যা নিয়ে একটি ৩ x ৩ ছক চিহ্নিত করতে। ধরা যাক তিনি উপরের ক্যালেন্ডারের পাতা দেখে ৩ x ৩ ছকটি বেছে নিলেন এভাবে :

১৪ ১৫ ১৬
২১ ২২ ২৩
২৮ ২৯ ৩০

এবার বন্ধুটিকে বলুন বেছে নেয়া ছকের একদম মাঝখানের সংখ্যাটি আপনাকে জানাতে। তিনি জানালেন সংখ্যাটি ২২। আর তা জানানো মাত্র ঝটপট সংখ্যা ৯টির যোগফল বলে দিলেন ১৯৮। আপনার বন্ধু ও কাছে থাকা অন্যরাও অবাক। কী করে এত দ্রুত তা সম্ভব হলো। সব নাম্বার ক্যালকুলেটর দিয়ে যোগ করেও তো এত দ্রুত যোগফল বলা সম্ভব হবে না। তাছাড়া এই নয়টি সংখ্যার বাকি ৮টি না জেনে কী করে সব যোগফল এভাবে বলে দেয়া সম্ভব হলো?

এর গোপন রহস্যটাই হচ্ছে গণিতের জাদু। আসলে এক্ষেত্রে জাদুটি হচ্ছে সংখ্যা ৯-এর। মাঝখানে থাকা ২২ সংখ্যাটিকে এই ৯ দিয়ে গুণ করলেই পাওয়া যাবে কাঙ্ক্ষিত যোগফল। ২২ x ৯ = ১৯৮। এভাবে ক্যালেন্ডারের পাতার যে কোনো অংশের ৯টি সংখ্যা নিয়ে ৩ x ৩ ছক নিলে এর মাঝখানে থাকা সংখ্যাটিকে ৯ দিয়ে গুণ করলে সংখ্যা ৯টির যোগফল জানা যাবে।

আর হ্যাঁ, এই ৯ দিয়ে গুণ করার কাজটি আরো সহজ হতে পারে মাঝখানের সংখ্যাটির ডানে ০ বসিয়ে পাওয়া সংখ্যা থেকে ওই সংখ্যাটি বাদ দিলেই কাঙ্ক্ষিত যোগফল পাওয়া যাবে। তাহলে বিষয়টি দাঁড়ালো এমন ২২ x ৯ = ২২ x ১০ - ২২ = ২২০ - ২২ = ১৯৮। এ কাজটি কঠিন কিছু নয়। মনে মনে করা সম্ভব।

২০ সংখ্যার মজা

এক্ষেত্রে আপনার বন্ধুকে বলুন ক্যালেন্ডারের পাতায় যেকোনো ২০টি সংখ্যা নিয়ে একটি ৫ x ৪ ছক বেছে নিতে। ধরা যাক উপরের দেয়া ক্যালেন্ডারের পাতা থেকে নিম্নরূপ ছকটি তিনি বেছে নিয়েছেন।

২ ৩ ৪ ৫ ৬
৯ ১০ ১১ ১২ ১৩
১৬ ১৭ ১৮ ১৯ ২০
২৩ ২৪ ২৫ ২৬ ২৭

এক্ষেত্রে আপনি বলবেন এ ছকের সবচেয়ে ছোট ও সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি জানাতে। জানানো মাত্র আপনি ঝটপট বলে দিলেন উপরের নেয়া সংখ্যা ২০টির যোগফল ২৯০। এত দ্রুত ও অন্যান্য সংখ্যা না জেনে এর যোগফল এভাবে বলতে পারায় আপনার বন্ধুরা তো অবাক। এ কী করে সম্ভব।

আসলে এখানে কৌশলটা হলো দেয়া সবচেয়ে ছোট ও সবচেয়ে বড় সংখ্যা দুটির যোগফলকে ১০ দিয়ে গুণ করলেই এ ধরনের ২০টি সংখ্যার যোগফল যেকোনো ক্যালেন্ডারের পাতায়ই পাওয়া যাবে।

এখানে যোগফল (২+২৭) x ১০ = ২৯ x ১০ = ২৯০

তবে ২০ সংখ্যার এ জাদুটি কোনো কোনো সময় কাজে আসবে না ফেব্রুয়ারি মাসের ক্যালেন্ডারের পাতার জন্য। কারণ, তখন এভাবে ৫x৪ ছকে ২০টি সংখ্যা পাওয়া যাবে না।

২০১০ সালের আগস্ট মাসের ক্যালেন্ডারের পাতা নিয়ে পরীক্ষা করেই দেখুন উপরের বর্ণিত ক্যালেন্ডারের পাতায় ‘৯ সংখ্যার মজা’ এবং ‘২০ সংখ্যার মজা’-র নিয়ম খাটে কি না।

আপনি যদি ক্যালেন্ডারের পাতা ব্যবহার করতে না চান, তবে নিচের সংখ্যার ছকটি নিয়েও এ দুটি গণিতের খেলা খেলতে পারেন। নিচের ছকটির মতো যেকোনো ধারাবাহিক সংখ্যার ছকেও এ নিয়ম চলবে।

১৩ ১৪ ১৫ ১৬ ১৭ ১৮ ১৯ ২০ ২১ ২২ ২৩
২৪ ২৫ ২৬ ২৭ ২৮ ২৯ ৩০ ৩১ ৩২ ৩৩ ৩৪
৩৫ ৩৬ ৩৭ ৩৮ ৩৯ ৪০ ৪১ ৪২ ৪৩ ৪৪ ৪৫
৪৬ ৪৭ ৪৮ ৪৯ ৫০ ৫১ ৫২ ৫৩ ৫৪ ৫৫ ৫৬
৫৭ ৫৮ ৫৯ ৬০ ৬১ ৬২ ৬৩ ৬৪ ৬৫ ৬৬ ৬৭
৬৮ ৬৯ ৭০ ৭১ ৭২ ৭৩ ৭৪ ৭৫ ৭৬ ৭৭ ৭৮

ডিজিটাল রুট

কোনো একটি সংখ্যার অঙ্কগুলো যদি অব্যাহতভাবে যোগ করে চলি, যতক্ষণ না তা ১ অঙ্কের সংখ্যায় রূপ নেয়, তবে সর্বশেষ পাওয়া সংখ্যাটি হচ্ছে প্রথমে নেয়া সংখ্যার ডিজিটাল রুট। একটা উদাহরণ দেয়া যাক :

সংখ্যা ৫৬৭৪-এর ডিজিটাল রুট কত, জানতে চাই?

এখানে ৫ + ৬+ ৭ + ৪ = ২২
আবার ২ + ২ = ৪
৪ হচ্ছে ৫৬৭৪-এর ডিজিটাল রুট।

আমরা এই ডিজিটাল রুট ব্যবহার করে একটি সংখ্যাকে ৯ দিয়ে ভাগ করলে অবশিষ্ট কত থাকবে তা নির্ণয় করতে পারি সহজে?

ধরা যাক আমরা জানতে চাই ১৯৪৬২৭৮৫ সংখ্যাটিকে ৯ দিয়ে ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে। আসলে এ সংখ্যাটির ডিজিটাল রুট যত, ততই হবে এ সংখ্যাটিকে ৯ দিয়ে ভাগ করলে এর ভাগশেষ

আসুন ১৯৪৬২৭৮৫ সংখ্যাটির ডিজিটাল রুট বের করি।

১ + ৯ + ৪+ ৬ + ২ + ৭ + ৮ + ৫ = ৪২
আবার ৪ + ২ = ৬

তাহলে কাঙ্ক্ষিত ডিজিটাল রুট হচ্ছে ৬। এর অর্থ ১৯৪৬২৭৮৫ সংখ্যাটিকে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগ শেষ থাকবে ৬।

আমরা ১৯৪৬২৭৮৫ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল থেকে বার বার ৯ বাদ দিয়ে যা অবশিষ্ট থাকবে তাই হবে এর ডিজিটাল রুট। সংখ্যাটি হচ্ছে - ১ ৯ ৪ ৬ ২ ৭ ৮ ৫

এখন, ৪+৫ = ৯, অতএব সংখ্যাটি থেকে ৪ ও ৫ বাদ দিন
আবার, ২+৭ = ৯, অতএব সংখ্যাটি থেকে ২ ও ৭ বাদ দিন
আবার, ১+৮ = ৯, অতএব সংখ্যাটি থেকে ১ ও ৮ বাদ দিন
তাহলে সংখ্যাটিতে অবশিষ্ট রইল শুধু ৬। এই ৬ হচ্ছে প্রদত্ত সংখ্যার ডিজিটাল রুট।

আরেকটি উদাহরণ দেয়া যাক। এবার জানতে চাই ২৫৭৫২০৩৪৩ এর ডিজিটাল রুট কত।

২ ৫ ৭ ৫ ২ ০ ৩ ৪ ৩

ধাপগুলো :

এক. ২ + ৭ = ৯, অতএব ২ আর ৭ কেটে বাদ দিন
দুই. ৪ + ৩ + ২ = ৯, অতএব ৪, ৩ ও ২ কেটে বাদ দিন
তিন. লক্ষ করুন আর কোনো দুটি বা দুইয়ের অধিক যোগ করে ৯ পাওয়া যায় না
চার. বাকি অঙ্কগুলো যোগ করে পাই ৫ + ৫ + ৩ = ১৩
পাঁচ. ১৩ সংখ্যাটি ৯-এর চেয়ে বড়, ১ + ৩ = ৪
ছয়. অতএব নির্ণেয় ডিজিটাল রুট ৪

মনে রাখতে হবে এভাবে ৯ বার বার বাদ দিয়ে যদি আর কোনো অঙ্ক অবশেষ না থাকে তবে ডিজিটাল রুট ৯ ধরতে হবে।

গণিতদাদু
কজ ওয়েব