গণিতের অলিগলি - পর্ব : ৪২

ক্যাব নাম্বার

গণিতে অনেক মজার মজার সংখ্যার কথা আমরা জানি। Cab Number তেমনি একটি মজার সংখ্যা। হেনরি ই ডুডিনির লেখা বই ‘অ্যামিউজমেন্টস ইন ম্যাথামেটিক’-এ আমরা এই ক্যাব নাম্বারের উল্লেখ পাই। তার ‘সমস্যা নম্বর ৮৫’-তে এর উল্লেখ আছে। তার প্রস্তাবিত সমস্যাটি ছিল মোটামুটি এমন : ‘এমন দুটি সংখ্যা উল্লেখ করতে হবে, যেখানে সংখ্যা দুটির মোট অঙ্ক সংখ্যা ৯টি এবং কোনো অঙ্কই দু’বার ব্যবহার করা যাবে না ও সংখ্যা দুটির গুণফলে এই ৯টি অঙ্কই একবার করে বসবে। কোনো মতেই কোনো অঙ্গ দু’বার বসতে পারবে না।’

এ সমস্যার সমাধান হলো- সংখ্যা দুটি হচ্ছে ৮৭৪৫২৩১ এবং ৯৬। কারণ, ৮৭৪৫২৩১  ৯৬ = ৮৩৯৫৪২১৭৬। লক্ষ করলে দেখতে পাবো গুণফলে রয়েছে যে ৯টি অঙ্ক, সমান চিহ্নের বাম পাশেও রয়েছে সেই ৯টি অঙ্ক। এই বিশেষ গুণের অধিকারী ৯ অঙ্কের সংখ্যা ৮৩৯৫৪২১৭৬-কে নাম দেয়া হয়েছে ৯ অঙ্কের ক্যাব নাম্বার। আরো দেখা গেছে ৯ অঙ্ক দিয়ে তৈরি করা আর কোনো সংখ্যা নেই, যে সংখ্যাটি এই নিয়ম মেনে চলে। তাই ধরে নেয়া হয় অঙ্কের একটিমাত্র ক্যাব সংখ্যা রয়েছে আর সেটি হচ্ছে ৮৩৯৫৪২১৭৬।

এভাবে দেখা গেছে তিন অঙ্কের দুটি সংখ্যা রয়েছে, যেগুলো উপরে বর্ণিত নিয়ম মেনে দুটি সংখ্যার গুণফল আকারে প্রকাশ করা যায়। এই সংখ্যা দুটি হচ্ছে ১৫৩ এবং ১২৬।

আর ১৫৩ = ৩  ৫১
১২৬ = ৬  ২১

এমনিভাবে ৪ অঙ্কের সংখ্যা নিয়ে পাওয়া গেছে ৬টি সমাধান

৩৭৮৪ = ৮  ৩৭৪
৩১৫৯ = ৯  ৩৫১
১৩৯৫ = ১৫  ৯৩
১৮২৭ = ২১  ৮৭
২১৮৭ = ২৭  ৮১
১৪৩৫ = ৩৫  ৪১

৫ অঙ্কের ক্যাব সংখ্যা পাওয়া গেছে ২২টি

১৭৪৮২ = ২  ৮৭৪১, ১৭৪২৮ = ২  ৮৭১৪
২১৭৫৩ = ৩  ৭২৫১, ১২৮৪৩ = ৩  ৪২৮১
২১৩৭৫ = ৩  ৭১২৫, ১২৩৮৪ = ৩  ৪১২৮
১৫২৪৬ = ৬  ২৫৪১, ৫২১৬৮ = ৮  ৬৫২১
৩৯৭৮৪ = ৮  ৪৯৭৩, ৬৭১৪৯ = ৯  ৭৪৬১
১২৫৪৬ = ৫১  ২৪৬, ২৮৪৭৬ = ৪২  ৬৭৮
৬৭৯৩২ = ৭২  ৯৩৬, ১২৯৬৪ = ১৪  ৯২৬
১৫৬২৪ = ২৪  ৬৫১, ১৮২৬৫ = ৬৫  ২৮১
৬৩৮৯৫ = ৬৫  ৯৮৩, ১৭৩২৫ = ৭৫  ২৩১
২১৫৮৬ = ৮৬  ২৫১, ৪৭৫৩৮ = ৫৭  ৮৩৪
৩৭৮৪৫ = ৮৭  ৪৩৫, ৪৮৬৭২ = ৭৮  ৬২৪

এবার ক্যাব সংখ্যার একটা সংজ্ঞা দেয়ার চেষ্টা করতে পারি। ক্যাব সংখ্যা হচ্ছে ০ ছাড়া বাকি ৯টি অঙ্কের মধ্য দিকে যেকোনো সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক নিয়ে তৈরি এমন একটি সংখ্যা যাতে এমন দুটি সংখ্যার গুণফল আকারে প্রকাশ করা যায়, যে সংখ্যা দুটির মোট অঙ্ক সংখ্যা ওই মূল সংখ্যাটির অঙ্ক সংখ্যার সমান এবং কোনো অঙ্কই দু’বার ব্যবহার করা যাবে না।

যেমন ৬৭৩৯২ একটি ৫ অঙ্কের ক্যাব সংখ্যা। কারণ, ৬৭৩৯২ = ৭২  ৯৩৬।

ফরট্রেনে কমপিউটার প্রোগ্রাম ব্যবহার করে ৩ অঙ্কের, ৪ অঙ্কের, ৫ অঙ্কের, ৬ অঙ্কের, ৭ অঙ্কের, ৮ অঙ্কের ও ৯ অঙ্কের সংখ্যা কমপিউটারে করে দেখা গেছে ৩ অঙ্কের রয়েছে ২টি, ৪ অঙ্কের রয়েছে ৬টি ও ৫ অঙ্কের ক্যাব সংখ্যা ২২টি। এগুলো উপরে দেখানো হয়েছে। এছাড়া ৬ অঙ্কের ক্যাব সংখ্যা ৯৮টি, ৭ অঙ্কের ক্যাব সংখ্যা ২৪০টি, ৮ অঙ্কের ক্যাব সংখ্যা ১১৫২টি ও ৯ অঙ্কের ক্যাব সংখ্যা ১৬২৫টির কথা কমপিউটারের সাহায্যে আমরা জানতে পেরেছি। ছক-১-এ এসব তথ্য তুলে ধরা হয়েছে।

ছক : ১
অঙ্ক কতগুলো সবচেয়ে ছোট সবচেয়ে বড়
সংখ্যা ক্যাব সংখ্যা ক্যাব সংখ্যা ক্যাব সংখ্যা
৩ ২ ১২৬ = ৬  ২১ ১৫৩ = ৩  ৫৩
৪ ৬ ১৩৯৫ = ১৫  ৯৩ ৩৭৮৪ = ৮  ৪৭৬
৫ ২২ ১২৩৮৪ = ৩  ৪১২৮ ৬৭৩৯২ = ৭২  ৯৩৬
৬ ৯৮ ১২৩৮৯৪ = ৩  ৪১২৯৮ ৭৪১৯২৮ = ৮  ৯২৭৪১
৭ ২৪০ ১২৩৪৭৬৮ = ৬৭৪  ১৮৩২ ৮৩৯২৬৭৫ = ৮৬৩  ৯৭২৫
৮ ১১৫২ ১২৩৪৬৯৭৮ = ২  ৬১৭৩৪৮৯ ৮৩৯৭১৪৬২ = ৯৭৪  ৮৬২১৩
৯ ১৬২৫ ১২৩৫৪৭৯৬৮ = ৪৮  ২৫৭৩৯১৬ ৮৩৯৫৪২১৭৬ = ৯৬ ৮৭৪৫২৩১


ক্যাব সংখ্যার এসব সমাধান বের করতে কমপিউটার প্রোগ্রাম লেখার সময় নিচে উল্লিখিত ক্যাব সংখার গুরুত্বপূর্ণ ধর্মগুলো ব্যবহার করা হয়েছে :

উৎপাদক সংখ্যা দুটি ডিজিটাল রুটের যোগফল সমান হতে হবে উৎপাদক সংখ্যা দুটির গুণফলের ডিজিটাল রুটের সমান। উল্লেখ্য, একটি ডিজিটাল রুট হচ্ছে সংখ্যাটির অঙ্কসমূহের যোগফল অব্যাহতভাবে একক অঙ্কের যোগফলে পৌঁছার পর পাওয়া সংখ্যাটি। নিচের উদাহরণ থেকে বিষয়টি স্পষ্ট হবে :
৬  ২৫৪১ = ১৫২৪৬

এখানে ৬-এর ডিজিটাল রুট = ৬
২৫৪১-এর ডিজিটাল রুট = ২ + ৫ + ৪ + ১ = ১২ এবং ১ + ২ = ৩
৬ ও ২৫৪১-এর ডিজিটাল রুটের যোগফল = ৬+৩ = ৯
এবং ১৫২৪৬-এর ডিজিটাল রুট = ১ + ৫ + ২ + ৪ + ৬ = ১৮ এবং ১ + ৮ = ৯
আবার উৎপাদক দুটির ডিজিটাল রুটের গুণফল (৬  ৩) বা ১৮-এর ডিজিটাল রুট = ১ + ৮ = ৯
অতএব সাধারণ সূত্রাকারে লিখতে পারি এভাবে-
যদি ক  খ = গ হয়,
তবে ক-এর ডিজিটাল রুট + খ-এর ডিজিটাল রুট = ক ও খ ডিজিটাল রুট  খ-এর ডিজিটাল রুট = গ-এর ডিজিটাল রুট, কারণ গ-এর অঙ্কগুলো ক ও খ-এর মধ্যে বিভাজিত হয়ে আছে।
n অঙ্কের ক্যাব সংখ্যা কমপিউট বা বের করার জন্য আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম হতে পারে এমন : অঙ্কগুলোর সর্বনিম্ন যোগফল = ১ + ২ + ৩ +... +n = n(n+১)/২
অঙ্কগুলোর সর্বোচ্চ যোগফল = ৯ + ৮ + ৭ +... +(১০-n) = ৪৫- [(৯-n)(১০-n)/২]
৬ অঙ্কের একটি ক্যাব সংখ্যার উদাহরণের কথা ধরা যাক : অঙ্কগুলোর সর্বনিম্ন যোগফল = ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ = ৬(৬+১)/২ = ২১

অঙ্কগুলোর সর্বোচ্চ যোগফল = ৯ + ৮ + ৭ + ৬ + ৫ + ৪ = ৪৫-[(৯-৬)(১০-৬)/২] = ৩৯

এতক্ষণ আমরা ০-কে বাইরে রেখে বাকি ৯টি অঙ্ক ব্যবহার করে ক্যাব সংখ্যা তৈরি নিয়ে আলোচনা করেছি। এখন এই ০-কে অন্তর্ভুক্ত করে ১০টি স্বতন্ত্র অঙ্ক ব্যবহার করে ১০ অঙ্কের ক্যাব সংখ্যা পেতে পারি ৯ অঙ্কের সমাধানগুলোর উৎপাদক দুটির যেকোনো একটিতে এই ০ যুক্ত করে দিয়ে। কমপিউটার প্রোগ্রাম ব্যবহার করে ১০ অঙ্কের সব ক্যাব সংখ্যা বের করা যাবে। দেখা গেছে, এক্ষেত্রে পাওয়া যাবে ৪১২৩টি ক্যাব সংখ্যা, যেখানে ০ অঙ্কটি ভেতরের দিকে থাকবে। আর ১০ অঙ্কের মোট ক্যাব সংখ্যা পাবো ১২৪৪৯টি। আর ১০ অঙ্কের ক্যাব সংখ্যার সবচেয়ে বড় ও সবচেয়ে ছোট ক্যাব সংখ্যা হবে নিম্নরূপ :

১০২৩৪৯৬৫৭৮ = ২৫৮  ৩৯৬৭০৪১
৮৪১০৫৯৩৭৬২ = ৯৬৫৪ ৮৭১২০৩

গবেষণা চালিয়ে দেখা গেছে ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক নিয়ে গঠিত ৩টি কিংবা তার চেয়েও বেশি সংখ্যার গুণফল বের করলে গুণফলেও উৎপাদকে ব্যবহৃত প্রত্যেকটি অঙ্ক একবার করে বসবে।

১২৩৫৯৭৬৮৪ = ৫৪  ৩৮  ৯৬১৭
২৯১৫৪৮৭৩৬ = ৮  ৯২  ৫৩১  ৭৪৬
১৩৪৭২৯৪৫৬ = ৬  ৮  ৯  ৭১  ৪৫২৩

আগে উল্লেখ করেছি, দুটি উৎপাদক ব্যবহার করে ০ বাদ দিয়ে বাকি ৯ অঙ্কের ১৬২৫টি ক্যাব সংখ্যার সমাধান পাই। এখন এই যদি দুইয়ের অধিক উৎপাদক বিবেচনা করি তবে এই সমাধান সংখ্যা দাঁড়াবে ২৯০০।