দ্রুত করি গণিতের কাজ
আজ আমরা গণিতের কিছু সংখ্যার গুণের কাজ কী করে দ্রুত করা যায়, তা জানব। ধরা যাক, আমরা ৯-কে ৮ দিয়ে গুণ করতে চাই। আমরা অনেকেই স্কুলের দ্বিতীয় বা তৃতীয় শ্রেণীতে পড়ার সময় ৮-এর এবং ৯-এর নামতা শিখেছি। সেই নামতা ব্যবহার করে আমরা সহজেই ৮ ও ৯-এর গুণফল ৭২ লিখে নিতে পারি। আমরা এ কাজটি নামতা ব্যবহার না করে অন্য একটি নিয়মে করতে পারি।
আমরা সহজেই ধরতে পারি ৮ ও ৯ সংখ্যাটি ১০-এর কাছাকাছি একটি সংখ্যা। তাহলে আমরা এ ক্ষেত্রে অর্থাৎ ৮ ও ৯-এর গুণফল দ্রুত বের করার ক্ষেত্রে ১০-কে একটি ভিত্তিসংখ্যা বা বেইস নাম্বার বিবেচনা করতে পারি। ৮ সংখ্যাটি এই ভিত্তিসংখ্যা ১০ থেকে ২ কম, আর ৯ সংখ্যাটি ভিত্তিসংখ্যা ১০ থেকে ১ কম। অতএব ৮ ও ৯-এর গুণফলের ডানের অঙ্কটি হবে ২ ও ১-এর গুণফল, অর্থাৎ ২-এর সমান। আর বামের অঙ্কটি হবে ৮ থেকে ১ কম কিংবা ৯ থেকে ২ কম, অর্থাৎ ৭। তাহলে ৮ ও ৯-এর গুণফল আমরা পাই ৭২। লক্ষ করি, এখানে আমরা যে ৮ ও ৯-এর গুণফল বের করেছি, সেই সংখ্যা দুইটির মধ্যে পার্থক্য ১।
এভাবে ১০০-এর কাছাকাছি দুইটি সংখ্যা, যাদের মধ্যে ব্যবধান ১, তাদের গুণফল একই নিয়মে বের করতে পারি ১০০-কে ভিত্তিসংখ্যা ধরে। ধরা যাক, আমরা ৯৮-কে ৯৭ দিয়ে গুণ করতে চাই। মনে রাখতে হবে যেহেতু ১০০ সংখ্যাটিতে রয়েছে দুইটি শূন্য (০), তাই নির্ণেয় গুণফলের ডানের সংখ্যা হবে দুই অঙ্কের এবং বামের সংখ্যাও হবে দুই অঙ্কের। অর্থাৎ নির্ণেয় গুণফলে থাকবে মোট চারটি অঙ্ক।
মনে রাখতে হবে এ ক্ষেত্রে ভিত্তিসংখ্যা হচ্ছে ১০০। আর এই ১০০ থেকে ৯৮ সংখ্যাটি ২ কম এবং ৯৭ সংখ্যাটি ৩ কম। অতএব কাক্সিক্ষত গুণফলে ডানে বসবে ২ ও ৩-এর গুণফল ৬। কিন্তু ডানের সংখ্যা দুই অঙ্কের হতে হবে, সেহেতু এই ৬-কে আমরা দুই অঙ্কের আকারে লিখব ০৬। আর কাক্সিক্ষত গুণফলের বামে বসবে ৯৮ থেকে ৩ কম, কিংবা ৯৭ থেকে ২ কম, অর্থাৎ ৯৫। অতএব ৯৮ ও ৯৭-এর গুণফল হবে ৯৫০৬।
এবার ধরা যাক আমরা জানতে চাই ৯৩ ও ৯২-এর গুণফল কত। এ ক্ষেত্রেও ভিত্তিসংখ্যা ১০০। এই ১০০ থেকে ৯২ ও ৯৩ যথাক্রমে ৮ ও ৭ কম। আর এই ৮ ও ৭-এর গুণফল ৫৬, যা হবে নির্ণেয় গুণফলের ডানের দুটি অঙ্ক। আর বামের দুটি অঙ্ক হবে ৯২ থেকে ৭ কম কিংবা ৯৩ থেকে ৮ কম, অর্থাৎ ৮৫। অতএব ৯২ ও ৯৩-এর নির্ণেয় গুণফল হচ্ছে ৮৫৫৬।
একইভাবে ১০০০-এর কাছাকাছি দুইটি সংখ্যার, যাদের মধ্যে একটির চেয়ে আরেকটি ১ বেশি বা কম, তাদের গুণফল বের করতে পারি ১০০০-কে ভিত্তিসংখ্যা বিবেচনা করে। ধরা যাক, ৯৯৫ ও ৯৯৬-এর গুণফল কত, তা জানতে চাই। এখানে যেহেতু ভিত্তিসংখ্যা ১০০০-এর ডানে রয়েছে তিনটি শূন্য (০), অতএব ৯৯৫ ও ৯৯৬-এর গুণফলের ডানে থাকবে তিনটি অঙ্কের একটি সংখ্যা এবং বামে থাকবে তিনটি অঙ্কের আরেকটি সংখ্যাÑ এই দুইটি মিলে মোট ছয়টি অঙ্ক থাকবে নির্ণেয় গুণফলে। এখানে ৯৯৫ ও ৯৯৬ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ভিত্তিসংখ্যা ১০০০ থেকে ৫ ও ৪ কম এবং ৫ ও ৪-এর গুণফল ২০। ২০-কে তিন অঙ্কের আকারে লিখলে লিখতে হয় ০২০, তাহলে নির্ণেয় গুণফলের ডানে বসবে ০২০ এবং বামে বসবে ৯৯৫ থেকে ৪ কম কিংবা ৯৯৬ থেকে ৫ কম, অর্থাৎ ৯৯১। অতএব নির্ণেয় গুণফল হচ্ছে ৯৯১০২০।
একইভাবে ১০০০০-এর কাছাকাছি দুইটি সংখ্যার, যাদের মধ্যে ব্যবধান ১, তাদের গুণফল দ্রæত বের করতে পারি ১০০০০-কে একটি ভিত্তিসংখ্যা বিবেচনা করে। ধরা যাক, আমরা ৯৯৯৮ ও ৯৯৯৭-এর গুণফল কত, তা জানতে চাই। মনে রাখতে হবে, যেহেতু ৯৯৯৭ ও ৯৯৯৬-এর কাছাকাছি সংখ্যা অর্থাৎ ভিত্তিসংখ্যা ১০০০০-এর মধ্যে রয়েছে চারটি শূন্য, তাই কাক্সিক্ষত গুণফলে ডান পাশে বসবে চার অঙ্কের একটি সংখ্যা, আর বাম পাশের থাকবে আরেকটি চার অঙ্কের সংখ্যাÑ এই মোট আট অঙ্কের সংখ্যা হবে নির্ণেয় গুণফল। ৯৯৯৬ ও ৯৯৯৭ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ভিত্তিসংখ্যা ১০০০০ থেকে যথাক্রমে ৪ ও ৩ কম। এই ৪ ও ৩-এর গুণফল হচ্ছে ১২। এখন এই ১২-কে চার অঙ্কের আকারে লিখলে হয় ০০১২, যা বসবে নির্ণেয় গুণফলের ডানে। আর এর বামে বসবে ৯৯৯৬ থেকে ৩ কম কিংবা ৯৯৯৭ থেকে ৪ কম, অর্থাৎ ৯৯৯৩। অতএব নির্ণেয় গুণফল হবে ৯৯৯৩০০১২।
এভাবে আমরা এ ধরনের আরো বড় সংখ্যার গুণফল উপরের নিয়মটি সম্প্রসারিত করে সম্পন্ন করতে পারি। ধরা যাক, ৯৯৯৯৯৯৪ ও ৯৯৯৯৯৯৫-এর গুণফল জানতে চাই। সহজেই লক্ষণীয় সংখ্যা দুইটির মধ্যে পার্থক্য ১। আর সংখ্যা দুইটির কাছাকাছি ভিত্তিসংখ্যা হচ্ছে ১০০০০০০০। প্রদত্ত সংখ্যা দুইটি ভিত্তিসংখ্যা ১০০০০০০০-এর চেয়ে একটি ৬ কম এবং আরেকটি ৫ কম, আর এই ৫ ও ৬-এর গুণফল ৩০, যা সাত অঙ্কের আকারে (কারণ, ভিত্তিসংখ্যা ১০০০০০০০-এ রয়েছে সাতটি শূন্য) লিখলে লিখতে হবে ০০০০০৩০। এটি হবে নির্ণেয় গুণফলের ডান পাশের সাতটি অঙ্ক। আর এর বামে বসবে প্রদত্ত সংখ্যা ৯৯৯৯৯৯৪ থেকে ৫ কম, কিংবা ৯৯৯৯৯৯৫ থেকে ৬ কম, অর্থাৎ ৯৯৯৯৯৮৯। অতএব নির্ণেয় গুণফল, অর্থাৎ ৯৯৯৯৯৯৪ ও ৯৯৯৯৯৯৫-এর গুণফল হচ্ছে ৯৯৯৯৯৮৯০০০০০৩০।
আশা করি, এ ধরনের যত বড় সংখ্যাই হোক, কিংবা যত ছোট সংখ্যাই হোক এই নিয়ম অনুসরণ করে দ্রæত গুণফল বের করা যাবে।
১০০-এর চেয়ে কিছু বড় সংখ্যার দ্রæত গুণ
উপরের আলোচনায় আমরা দেখেছি, ১০০-এর কিছু ছোট দুইটি সংখ্যার গুণফল কী করে দ্রæত বের করা যায়। এবার আমরা জানব ১০০-এর চেয়ে সামান্য বড় দুটি সংখ্যার গুণফল কী করে এক লাইনে দ্রæত বের করা যায়। উদাহরণ সহকারে আলোচনা করলেই নিয়মটি স্পষ্ট হবে। ধরা যাক, আমরা জানতে চাই ১০৭ ও ১০৪-এর গুণফল কত। এখানে আমাদেরকে দুই ধাপে দুই জোড়া সংখ্যা বের করতে হবে। এই সংখ্যা দুটি পাশাপাশি বসালেই আমরা পেয়ে যাব নির্ণেয় গুণফল। মনে রাখতে হবে, ডানে যে সংখ্যাটি বসবে সেটি হবে দুই অঙ্কের, আর বামের অঙ্কটি হবে তিন অঙ্কের। ফলে নির্ণেয় গুণফল হবে ৫ অঙ্কবিশিষ্ট। এই সংখ্যা দুইটি আমাদেরকে দুই ধাপে বের করতে হবে। প্রথম ধাপে বের করব ডানের দুইটি অঙ্ক এবং দ্বিতীয় ধাপে বের করব বামের তিনটি অঙ্ক।
প্রথম ধাপ : লক্ষণীয়, এখানে যে দুইটি সংখ্যার গুণফল বের করতে হবে, তার একটি ১০০ থেকে ৭ বেশি, আর অপরটি ১০০ থেকে ৪ বেশি। আর এই ৭ ও ৪-এর গুণফল ২৮ এবং ২৮ একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা। অতএব এই ২৮ সংখ্যটিই হবে নির্ণেয় গুণফলের ডানের দুইটি অঙ্ক।
আর দ্বিতীয় ধাপে নির্ণয় করব বামের অঙ্ক তিনটি। এটি হবে (১০৭ + ৪) কিংবা (১০৪ + ৭), অর্থাৎ ১১১। এই ১১১-কে ২৮-এর বামে বসিয়ে আমরা পাই ১১১২৮। অতএব ১০৭ ও ১০৪-এর গুণফল হচ্ছে ১১১২৮।
এবার ধরা যাক, আমরা জানতে চাই ১০২ ও ১০৩-এর গুণফল কত।
প্রথম ধাপ : এ ক্ষেত্রে প্রদত্ত সংখ্যা দুইটির মধ্যে একটি ১০০ থেকে ২ বেশি, অপরটি ১০০ থেকে ৩ বেশি। আর এই ২ ও ৩-এর গুণফল ৬। এই ৬ হবে নির্ণেয় গুণফলের ডানের সংখ্যা। কিন্তু নিয়ম অনুযায়ী এটি হতে হবে দুই অঙ্কের। ৬-কে দুই অঙ্কের আকারে লিখলে লিখতে হবে ০৬। অতএব নির্ণেয় গুণফলের ডানের দুইটি অঙ্ক হবে ০৬।
দ্বিতীয় ধাপ : এই ধাপে নির্ণয় করতে হবে বামের তিন অঙ্কের একটি সংখ্যা। আর সে সংখ্যাটি হবে (১০২ + ৩) অথবা (১০৩ + ২), অর্থাৎ ১০৫। অতএব নির্ণেয় গুণফল হচ্ছে ১০৫০৬।
আরেকটি উদাহরণ নেয়া যাক। ধরা যাক জানতে চাই ১০৮ ও ১১৪-এর গুণফল কত।
প্রথম ধাপ : প্রদত্ত সংখ্যা দুইটির একটি ১০০ থেকে ৮ বেশি, আর অপরটি ১৪ বেশি। এখন এই ৮ ও ১৪-এর গুণফল ১১২। এই গুণফল নির্ণেয় গুণফলের ডানের দুইটি অঙ্ক কী হবে তা ঠিক করে দেবে। এখানে ডানে ১২ হবে নির্ণেয় গুণফলের একদম ডানের দুইটি অঙ্ক। আর ১১২-এর বামের ১ হাতে থাকবে, যা দ্বিতীয় ধাপের বামের সংখ্যার সাথে যোগ হবে। বামের সংখ্যাটি হবে (১০৮ + ১৪ + হাতের ১) অথবা (১১৪ + ৮ + হাতের ১), অর্থাৎ ১২৩। অতএব ১০৮ ও ১১৪-এর গুণফল হচ্ছে ১২৩১২