গণিতের অলিগলি

এক : কিউবের সমষ্টি
লক্ষ করি,
১৩ = ১২
১৩ + ২৩ = (১ + ২)২
১৩ + ২৩ + ৩৩ = (১ + ২ + ৩)২
১৩ + ২৩ + ৩৩ + ৪৩ = (১ + ২ + ৩ + ৪)২
ওপরের এই মজার সম্পর্কটিকে সাধারণীকায়নের মাধ্যমে আমরা সূত্রাকারে লিখতে পারি এভাবে

১৩ + ২৩ + ... + স৩ = (১ + ২ + ... + স)২, যেখানে স-এর মান হতে পারে যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা। অর্থাৎ স = ১, ২, ৩, ৪, ৫ ... ইত্যাদি হতে পারে।

এই সূত্র থেকে আমরা সংখ্যাসেট {১, ২, ৩, ৪, ৫, ..., স}-এর একটি মজার ধর্ম পেয়ে গেলাম। এর অর্থ ১, ২, ৩, ৪, ৫ ... সংখ্যাগুলোর কিউব বা ঘনফলের সমষ্টির সমান হবে এই সংখ্যাগুলোর যোগফলের বর্গের সমান। এ ধরনের কিউবসেটের আরেকটি মজার কথা আমরা এখানে জানব।
বিষয়টি আবার মনোযোগ দিয়ে লক্ষ করি। গণনা করার স্বাভাবিক পূর্ণসংখ্যার সেট থেকে যে কোনো একটি সংখ্যা নিই এবং এই সংখ্যাটিকে নিঃশেষে ভাগ করা যায় যেসব সংখ্যা দিয়ে, সেগুলো নির্ণয় করি। ধরি, আমরা ৬৩ সংখ্যাটি নিয়েছি। এখন এই ৬৩ সংখ্যাটিকে নিঃশেষে ভাগ করা যায় যেসব সংখ্যা দিয়ে সেগুলো হলো ৬৩, ২১, ৯, ৭, ৩ ও ১। এগুলো ৬৩-এর এক-একটি উৎপাদক। আরো লক্ষ করি

৬৩-এর রয়েছে ৬টি উৎপাদক (৬৩, ২১, ৯, ৭, ৩, ১)
২১-এর রয়েছে ৪টি উৎপাদক (২১, ৭, ৩, ১)
৯-এর রয়েছে ৩টি উৎপাদক (৯, ৩, ১)
৭-এর রয়েছে ২টি উৎপাদক (৭, ১)
৩-এর রয়েছে ২টি উৎপাদক (৩, ১)
১-এর রয়েছে ১টি উৎপাদক (১)

এখন এই উৎপাদক সংখ্যাগুলোর কিউব বা ঘনফলের সমষ্টি পাইÑ
৬৩ + ৪৩ + ৩৩ + ২৩ + ২৩ + ১৩ = ৩২৪, আবার
(৬ + ৪ + ৩ + ২ + ২ + ১)৩ = ৩২৪, অর্থাৎ
৬৩ + ৪৩ + ৩৩ + ২৩ + ২৩ + ১৩ = ৩২৪ = (৬ + ৪ + ৩ + ২ + ২ + ১)২

অতএব আমরা বলতে পারি, যেকোনো সংখ্যা নিয়ে আমরা যদি এর প্রত্যেকটি উৎপাদক বের করি এবং এসব উৎপাদকের আলাদা আলাদা উৎপাদক সংখ্যা কতটি তা বের করি, তবে দেখা যাবে এসব উৎপাদকসংখ্যার কিউব বা ঘনফলের সমষ্টি হবে এগুলোর সমষ্টির বর্গফলের সমান। সত্যিই এটি সংখ্যার এক অনন্য মজার বিষয়।

দুই : দুই বর্গের সমষ্টি
একটি প্রশ্ন হতে পারে এমনÑ আমাদের রয়েছে অসংখ্য পূর্ণসংখ্যা। এর মধ্য থেকে কোনো একটি সংখ্যা নিলে আমরা কী করে বলতে পারব এই সংখ্যাটিকে দুইটি পূর্ণ বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যাবে কি না? এ প্রশ্নের উত্তর পাব গণিতের একটি থিওরেমের মাধ্যমে। এটি ফারমেটের দেয়া থিওরেম।

এই থিওরেম বলে একটি পূর্ণসংখ্যা ঘ-কে তখনই দুইটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যার সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যাবে, যখন এর উৎপাদকগুলোর মধ্যে (৪শ+৩) আকারের মৌলিক উৎপাদকগুলোর সংখ্যা জোড়সংখ্যা হয়, যেখানে ক-এর মান যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা হতে পারে। একটি উদাহরণ নেয়া যাক। ধরা যাক, আমরা জানতে চাই ২৪৫ সংখ্যাটিকে দুইটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায় কি না? আমরা জানি, ২৪৫ = ৫ * ৭ * ৭। অর্থাৎ, ২৪৫-এর উৎপাদক হচ্ছে ৫ ও ৭। এই দুইটির মধ্যে একমাত্র ৭-কে (৪শ+৩) আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে শ-এর মান ১। আর ২৪৫-এর মৌলিক উৎপাদকে ৭ রয়েছে দুইবার বা জোড়সংখ্যায়। অতএব ২৪৫ সংখ্যাটিকে দুই বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যাবে। আর ২৪৫ = ১৪২ + ৭২।

এবার দেখা যাক, ৪২ সংখ্যাটিকে এভাবে দুই বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায় কি না। আমরা জানি, ৪২ = ২ * ৩ * ৭। এখানে ৪২-এর মৌলিক উৎপাদক দুইটি হচ্ছে ৩ ও ৭। এর একটিও জোড় সংখ্যায় নেই। তাই এগুলোর আকার (৪শ+৩) আকারে থাক বা না থাক, ৪২ সংখ্যাটিতে দুই বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যাবে না।

তাহলে আমরা অনুসিদ্ধান্তে পৌঁছতে পারি, (৪শ+১) আকারের প্রতিটি মৌলিক সংখ্যাকেই আমরা দুই বর্গের সমষ্টি আকারে প্রকাশ করতে পারব। শ-এর মান ১ ধরলে (৪শ+১)-এর মান ৫ এবং ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা। অতএব, আমরা বলতে পারি ৫ হচ্ছে (৪শ+১) আকারের একটি মৌলিক সংখ্যা। সুতরাং উল্লিখিত অনুসিদ্ধান্ত মতে, ৫-কে দুই বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যাবে। আর বাস্তবতাও তাই ৫ = ২২ + ১২ । একইভাবে ১৩ সংখ্যাটিও (৪শ+১) আকারের একটি মৌলিক সংখ্যা। কারণ, শ-এর মান ৩ হলে (৪শ+১)-এর মান ১৩। আর ১৩ = ৩২ + ২২। এই উদাহরণ থেকেও এটি প্রমাণ পাওয়া যায় (৪শ+১) আকারের যেকোনো মৌলিক সংখ্যাকে দুই বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায়।

দুই বর্গের সমষ্টি সম্পর্কিত আরেকটি ভালো থিওরেম আমাদের ১২০২ সালে দিয়ে গেছেন ফিবোনাচ্চি। এই থিওরেম মতেÑ যদি ঘ ও গ এমন দুইটি পূর্ণসংখ্যা হয় যেগুলোকে দুই বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায়, তবে ঘ ও গ-এর গুণফলকেও দুই বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যাবে। উদাহরণÑ যেহেতু, ২ = ১২ + ১২ এবং ৩৪ = ৩২ + ৫২, অতএব ২ ও ৩৪-এর গুণফল ৬৮-কেও দুই বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যাবে। আর বাস্তবে ৬৮ = ৮২ + ২২ । এখন প্রশ্ন হচ্ছে, কোন দুই বর্গের সমষ্টি হবে এই গুণফলের সমান, তা বের করার কি কোনো উপায় আছে? এজন্য একটি ফর্মুলা রয়ে গেছে। আর ফর্মুলাটি হচ্ছে যদি ঘ = ধ২ + ন২ এবং গ = প২ + ফ২ হয়, তবে (ধ২+ন২) (প২+ফ২) = (ধপ+নফ)২ + (ধফ-নপ)২।

গণিতদাদু