দ্রুত করব গণিতের কাজ

আমরা এই লেখার মাধ্যমে যেসব সংখ্যার শেষদিকে ৫ থাকে সেসব সংখ্যার বর্গ কী করে সহজে দ্রুত বের করা যায়, সে নিয়মটি শেখার সুযোগ পাবো। এ কাজটি আমরা কয়েকটি ধাপে সম্পন্ন করব। সুনির্দিষ্ট কিছু উদাহরণ উল্লেখ করে এ নিয়মটি জানার চেষ্টা করব। এর ফলে নিয়মটি আমরা সহজে আয়ত্ত করতে পারব।

এক : শেষ অঙ্ক ৫, এমন দুই অঙ্কের সংখ্যার বর্গ
আমরা জানি, শেষ অঙ্ক ৫, এমন দুই অঙ্কের সংখ্যাগুলো হচ্ছে : ১৫, ২৫, ৩৫, ৪৫, ৫৫, ৬৫, ৭৫, ৮৫ এবং ৯৫। এসব সংখ্যার বর্গ কীভাবে দ্রæত বের করা যায়, তারই একটি নিয়ম আমরা এখানে শিখব। উদাহরণ দিয়ে আলোচনা করলেই বিষয়টি স্পষ্ট হবে।

মনে রাখতে হবে, ওপরে দেয়া সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকটির বর্গফল বের করতে আমাদেরকে দুইটি সংখ্যা বের করতে হবে। এরপর সংখ্যা দুইটি একটি পাশে আরেকটি বসিয়ে দিলেই আমরা পেয়ে যাব নির্র্ণেয় বর্গফল। এর মধ্যে ডানের সংখ্যাটি হবে সব সময় ২৫, যা হবে কাক্সিক্ষত বর্গফলের একদম ডানদিকে থাকা শেষ দুটি অঙ্ক। অপর সংখ্যাটি বের করতে আমাদের নজর দিতে হবে যে সংখ্যার বর্গফল জানতে চাই, সেটিতে ৫-এর বামে থাকা প্রথম অঙ্কটির দিকে। যেমন ৬৫টির বর্গ বের করার ক্ষেত্রে আমরা নজর দেবো ৬৫ সংখ্যাটির ৫-এর বামে থাকা অঙ্ক ৬-এর ওপর। এই ৬-কে এর চেয়ে ১ বেশি যে সংখ্যা, তা দিয়ে অর্থাৎ ৭ দিয়ে গুণ করে যে সংখ্যা হয়, তা বের করব। এখানে ৬ ী ৭ = ৪২। এই ৪২ হবে কাক্সিক্ষত বর্গফলের প্রথম দুই অঙ্ক। এর আগে জেনেছি নির্ণেয় বর্গফলের শেষ দুই অঙ্ক হবে ২৫। অতএব ৬৫২ = ৪২২৫।

একইভাবে ৩৫-এর বর্গফলের প্রথম দুইটি অঙ্ক হবে ৩ ও ৪-এর গুণফল ১২ এবং শেষ দুই অঙ্ক হবে ২৫। অতএব, ৩৫-এর বর্গফল হবে ১২২৫। ৭৫-এর বর্গফলের প্রথম দুই অঙ্ক হবে ৭ ও ৮-এর গুণফল ৫৬ এবং শেষ দুই অঙ্ক হবে ২৫। অতএব ৭৫-এর বর্গ হচ্ছে ৫৬২৫। আর ৯৫-এর বর্গফলের প্রথম দুই অঙ্ক হবে ৯ ও ১০-এর গুণফল ৯০ এবং শেষ দুই অঙ্ক ২৫। অতএব ৯৫২ = ৯০২৫। এভাবে দুই অঙ্কের যেসব সংখ্যার শেষ অঙ্ক ৫ সেগুলোর বর্গসংখ্যা আমরা দ্রুত মনে মনে বের করে নিতে পারব।

দুই : এ ধরনের তিন অঙ্কের সংখ্যার বেলায়ও একই নিয়ম
আমরা চাইলে শেষদিকে ৫ আছে এমন তিন অঙ্কের সংখ্যাগুলোর বর্গফল বের করার কাজটি ওপরে বর্ণিত একই নিয়মেই সম্পন্ন করতে পারি। অর্থাৎ ১০৫, ১১৫, ১২৫, ১৩৫, ১৪৫, ১৫৫, ১৬৫, ১৭৫, ১৮৫, ১৯৫, ১০৫,..., ২০৫, ..., ৩৫৫, ..., ৯৮৫, ৯৯৫Ñ ইত্যাদি ধরনের সংখ্যাগুলোর বর্গ নির্ণয় করতে পারব একই নিয়ম ব্যবহার করে। আবারো বলি, এসব তিন অঙ্কের সংখ্যার প্রতিটিরই শেষ অঙ্ক হতে হবে ৫। তখনও এ নিয়ম খাটবে।

যেমন : ১০৫-এর বর্গফলের শেষ দিকে থাকবে আগের মতোই ২৫ এবং প্রথমদিকে থাকবে ৫এর বামে থাকা ১০ ও এর চেয়ে ১ বেশি ১১-এর গুণফল ১১০। অতএব ১০৫২ = ১১০২৫। একইভাবে ১৩৫-এর বর্গফলের প্রথমে থাকবে ১৩ ও ১৪-এর গুণফল ১৮২ এবং শেষদিকে থাকবে ২৫। অথএব ১৩৫২ = ১৮২২৫। ৯৯৫-এর বর্গফলের প্রথমদিকে বসবে ৯৯ ও ১০০-এর গুণফল ৯৯০০ এবং শেষদিকে থাকবে ২৫। সুতরাং ৯৯৫২ = ৯৯০০২৫।

তিন : এ ধরনের চার অঙ্কের সংখ্যার বেলায়ও একই নিয়ম
চার অঙ্কের যেসব সংখ্যার শেষ অঙ্ক ৫, সেগুলোর বের্গফল বের করার বেলায় একই নিয়ম ব্যবহার করা যাবে। যেমন: ১০০৫, ৩৬৭৫, ১২৩৫..., এমনি ধরনের সংখ্যার বর্গফল নির্ণয়ে একই নিয়মে করতে পারব।

যেমন : ১০০৫-এর বর্গফলের প্রথম দিকে থাকবে ১০০ ও ১০১-এর গুণফল ১০১০০ এবং শেষ দুটি অঙ্ক হবে ২৫। অতএব ১০০৫-এর বর্গ হচ্ছে ১০১০০২৫। একইভাবে ১২৩৫-এর বর্গফলের প্রথমে বসবে ১২৩ ও ১২৪-এর গুণফল ১৫২৫২ এবং বর্গফলেল শেস দুই অঙ্ক হবে যথারীতি ২৫। অতএব ১২৩৫-এর বর্গসংখ্যা হচ্ছে ১৫২৫২২৫। ঠিক একইভাবে ৮৯৩৫-এর বর্গফলের প্রথমে বসবে ৮৯৩ ও ৮৯৪-এর গুণফল ৭৯৮৩৪২ এবং শেষে দুই অঙ্ক হবে ২৫। সুতরাং ৮৯৩৫২= ৭৯৮৩৪২২৫।

চার : এর চেয়ে বেশি অঙ্কের বেলায়ও এ নিয়ম সচল
লক্ষ করি, ১২২৩৫ হচ্ছে পাঁচ অঙ্কের একটি সংখ্যা, এর শেষ অঙ্ক ৫। এর বর্গফলে আগের নিয়মে প্রথমে বসবে ১২২৩ ও ১২২৪-এর গুনফল ১৪৯৬৯৫২ এবং শেষ দুই অঙ্ক হবে ২৫। অতএব, ১২২৩৫-এর বর্গফল হচ্ছে ১৪৯৬৯৫২২৫। একই ভাবে এ ধরনের ছয় অঙ্কের একটি সংখ্যা হচ্ছে ৪৩২৭৬৫, যার শেষ অঙ্ক ৫। এই নিয়ম অনুযায়ী ৪৩২৭৬৫ সংখ্যাটির বর্গফলের প্রথমে বসবে ৪৩২৭৬ ও ৪৩২৭৭-এর গুণফল ১৮৭২৮৫৫৪৫২ এবং শেষ দুই অঙ্ক হবে ২৫। অতএব ৪৩২৭৬৫-এর বর্গ হচ্ছে ১৮৭২৮৫৫৪৫২২৫।

এভাবে এই নিয়মটি আরো বেশি অঙ্কের সংখ্যার বর্গফল বের করার ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যাবে, যেগুলোর শেষ অঙ্ক হচ্ছে ৫। তবে সাধারণত কম অঙ্কের সংখ্যার বর্গের বেলায় এই নিয়মে দ্রæত বর্গ নির্ণয় করায় ব্যবহারই সহজ হবে।

পাঁচ : এ নিয়মটি সাধারণীকরণ
লক্ষ করি, আমরা চাইলে এই নিয়মটিকে একটি সাধারণ নিয়মে পরিণত করতে পারি সেইসব সংখ্যার বর্গ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে যেগুলোর শেষ অঙ্ক ৫। এই সাধারণ নিয়মটি হবে এমন: যে সংখ্যাটির বর্গ নির্ণয় করব তার তা যত অঙ্কেরই হোক, এর শেষ অঙ্কটি ৫ হওয়ার নির্ণেয় বগফলের শেষ দুটি অঙ্ক হবে সব সময় ২৫। আর দেয়া সংখ্যাটির ডানের ৫ বাদ দিলে যে সংখ্যাটি পাওয়া যাবে, সেই সংখ্যা ও এর চেয়ে ১ বেশি যে সংখ্যার তার গুণফল যা হবে, তা ২৫-এর আগে বসিয়ে দিলেই নির্ণেয় বর্গফল আমরা পেযে যাব।

যেমন: ৫২৪৩৫-এর বর্গ নির্ণয় করতে এ থেকে ডানের ৫ বাদ দিয়ে পাওয়া সংখ্যা ৫২৪৩ ও এর চেয়ে ১ বেশি সংখ্যা ৫২৪৪-এর গুণফল ২৭৪৯৪২৯৩-এর যানে ২৫ বসিয়ে দিলেই আমরা নিনেয় বর্গফলটি পেয়ে যাব ২৭৪৯৪২৯৩২৫। একইভাবে ৭৬৮৯৫-এর বর্গফল বের করতে আমাদেরেকে এ ডানের অঙ্ক ৫ াদদিয়ে পাওয়া সংখ্যা ৭৬৮৯ ও এরচেয়ে ১ বেশি ৭৬৯০-এর গুণফল ৫৯১২৮৪১০-এর ডানে ২৫ দিলে আমরা পেয়ে যাব নির্ণেয় বর্গফল ৫৯১২৮৪১০২৫। অর্থাৎ ৭৬৮৯-এর বর্গ হচ্ছে ৫৯১২৮৪১০২৫

গণিতদাদু