Googol I Googolplex

Googol (গুগল) শব্দটির সাথে আমরা খুবই পরিচিত। ইন্টারনেট ব্যবহারকারীরা সবাই জানি এ Googol হচ্ছে একটি সার্চ ইঞ্জিন। কিন্তু Googol (গুগুল) শব্দটির সাথে আমাদের অনেকেরই পরিচয় নেই। , লক্ষণীয় এ শব্দ দু’টির উচ্চারণ প্রায় একই হলেও বানানে পার্থক্য রয়েছে। সেই সাথে শব্দ দু’টির অর্থও আলাদা। আগেই বলা হয়েছে Googol হচ্ছে একটি সার্চ ইঞ্জিন। এখন জানছি, Googol হচ্ছে একটি সংখ্যা। আরও খুলে বললে বলতে হয় Googol হচ্ছে অতি বড় একটি সংখ্যা। তেমনি Googolplex (গুগুলপ্লেক্স) হচ্ছে তার চেয়েও অতি বড় আরেকটি সংখ্যা। এগুলো কত বড় সংখ্যা তাই এখানে জানব।

আমরা জানি, ১-এর ডানে একটি শূন্য (০) বসালে হয় দশ। আর ১-এর ডানে দু’টি শূন্য বসালে হয় একশ’। তেমনই ১-এর ডানে তিনটি শূন্য বসালে হয় হাজার। এভাবে ১-এর ডানে আরও বেশি সংখ্যায় শূন্য বসিয়ে বড় বড় সংখ্যা তৈরি করতে পারি, যেগুলোর রয়েছে এক-একটি সুনির্দিষ্ট নাম- আমাদের ভাষায় লাখ, কোটি, অযুত, নিযুত এবং ইংরেজিতে মিলিয়ন, বিলিয়ন, ট্রিলিয়ন, ... ইত্যাদি। এখন প্রশ্ন হচ্ছে, ১-এর ডানে একশ’টি শূন্য বসালে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায়, সে সংখ্যাটির নাম কী? সে সংখ্যাটিরই নাম Googol দেয়া হয়েছে। তাহলে-

১ googol = ১,০০০০০০০০০০,০০০০০০০০০০,০০০০০০০০০০, ০০০০০০০০০০,০০০০০০০০০০,০০০০০০০০০০,০০০০০০০০০০,০০০০০০০০০০,০০০০০০০০০০,০০০০০০০০০০.

এ নামটি প্রথম চালু করেন আমেরিকান গণিতবিদ এডওয়ার্ড কেসনারের ৯ বছর বয়েসী ভাইপো মিল্টন সিরোট্টা, সেই ১৯৩৮ সালে। এডওয়ার্ড কেসনার এই ধারণাটিকে জনপ্রিয় করে তোলেন ১৯৪০ সালে প্রকাশিত তার বই ‘ম্যাথামেথিকস অ্যান্ড দ্য ইমাজিনেশন’-এর মাধ্যমে। এই সংখ্যাটির আরও অনেক নাম রয়েছে :
ten duotrigintillion (on short scale)
ten sexdecillion ( on long scale), or
ten sexdecilliard (on peletier long scale).

১০-এর ঘাত বা power of ten আকারের বড় বড় পূর্ণ সংখ্যাকে নাম দেয়ার নানা পদ্ধতি রয়েছে। শর্ট স্কেল ও লং স্কেল এসব নানা পদ্ধতিরই দু’টি পদ্ধতি। পেলেটিয়ার লং স্কেলও তেমনই একটি পদ্ধতি।

গণিতে এই গুগুল নাম্বারের তেমন কোনো গুরুত্ব নেই, তবে বড় বড় সংখ্যার সাথে তুলনা করতে এর ব্যবহার আছে। যেমন দৃশ্যমান ও পর্যবেÿণযোগ্য মহাবিশ্বে সাব-অ্যাটোমিক পার্টিকলের নাম্বারের সাথে তুলনা করতে কিংবা চেস গেমের সম্ভাব্য প্রকল্পিত সংখ্যার সাথে তুলনা করতে এর ব্যবহার আছে। এডওয়ার্ড কেসনার এই সংখ্যাটি ব্যবহার করেছেন একটি অকল্পনীয় বড় সংখ্যা ও ইনফিনিটির মধ্যে পার্থক্য বোঝাতে। গুগুল যত বড়ই হোক, এটি একটি সসীম সংখ্যা। আর ইনফিনিটি একটি অসীম সংখ্যা। এই গুগুল সংখ্যাটি মাঝেমধ্যে ব্যবহার হয় গণিত পড়ানোর কাজে।

১ গুগুল সংখ্যাটির মান মোটামুটি ফ্যাক্টরিয়েল ৭০-এর সমান। সোজা কথায়-
১ গুগুল = ১ ক্ম ২ ক্ম ৩ ক্ম ৪ ক্ম ৫ ক্ম ...৬৪ ক্ম ৬৫ ক্ম ৬৬ ক্ম ৬৭ ক্ম ৬৮ ক্ম ৬৯ ক্ম ৭০।
তাহলে আমরা জানলাম ১-এর ডানে একশ’টি শূন্য দিলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেটিই হচ্ছে গুগুল। এবার জানব, তার চেয়েও অনেক অনেক বড় সংখ্যা গুগুলপ্লেক্সের কথা। ১-এর ডানে গুগুলসংখ্যক শূন্য বসালে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায়, তারই নাম গুগুলপ্লেক্স। এই সংখ্যাটি যে কত বড়, তা একটি বর্ণনা থেকে অনুমেয়। কার্ল সাগানের নামটি বিজ্ঞানপ্রেমী মানুষের প্রায় সবার কাছেই কমবেশি পরিচিত। টেলিভিশনে তিনি বিজ্ঞান, বিশেষ করে জ্যোতির্বিজ্ঞানের নানা বিষয় নিয়ে আকর্ষণীয় অনুষ্ঠান করেছেন। জ্যোতির্বিজ্ঞানী ও টেলিভিশন ব্যক্তিত্ব কার্ল সাগানের ধারাবাহিক অনুষ্ঠান ‘কসমস : অ্যা পার্সোন্যাল ভয়েজ’ এবং ‘দ্য লাইভস অব স্টারস’ আমাদের বাংলাদেশের টেলিভিশনেও সত্তরের দশকে সম্প্রচারিত হয়েছে। এগুলো বেশ জনপ্রিয় ছিল। সে যাই হোক, কার্ল সাগান বলেছেন- গুগুলপ্লেক্স সংখ্যাটি ১-এর পর শূন্যগুলো পরপর বসিয়ে (১,০০০০০০০০০... আকারে) ভৌতভাবে লেখা কার্যত অসম্ভব এক ব্যাপার। কারণ, তা লিখতে আমাদের মহাবিশ্বের সব স্থানটুকু ভরে শূন্য লিখলেও সে লেখা শেষ হবে না।

আমরা সাধারণত যে ধরনের বই ছাপি, সাধারণত সে ধরনের একটি বইয়ের প্রতি পাতায় ৫০টি লাইন যদি থাকে, তবে ১০০০০০০টি শূন্য পাশাপাশি বসিয়ে ছাপতে ৪০০ পৃষ্ঠার একটি বইয়ের প্রয়োজন হবে, যেখানে প্রতি লাইনে থাকবে ৫০টি করে শূন্য। তবে এক গুগুলপ্লেক্সের সবগুলো জিরো ছাপালে এ ধরনের ১০৯৪টি বই ছাপতে হবে। প্রতিটি বইয়ের আকার যদি হয় ২১০ মিমি ক্ম ২৯৭ মিমি ক্ম ১৩ মিমি, তবে সবগুলো বই জায়গা দখল করবে ৮.১ ক্ম ১০৯০ ঘনমিটার, যা আমাদের দৃশ্যমান মহাবিশ্বের আয়তনের চেয়েও বেশি। আমাদের দৃশ্যমান মহাবিশ্বের আয়তন মাত্র ৪ ক্ম ১০৮০ ঘনমিটার।

আমাদের পর্যবেÿণযোগ্য মহাবিশ্বের ১০৮০টি পার্টিকলের সবগুলো পার্টিকল যদি এক-এক করে ব্যববহার করা হয় গুগুলপেস্নক্সের শূন্যগুলো প্রকাশ করার জন্য, তবুও তা দিয়ে গুগুলপ্লেক্সের পুরো শূন্যগুলো প্রকাশ করা যাবে না। লাইন ধরে বসিয়ে গুগুলপ্লেক্স সংখ্যাটি লেখা বা লিখে ছাপানোর চেষ্টা করাও হবে একটি বোকামি। এমনকি ১ পয়েন্ট আকারের মতো ছোট টাইপে যদি এই সংখ্যার প্রতিটি অঙ্ক লেখা হয়, তবে প্রতিটি অঙ্কের জন্য জায়গা লাগবে ০.৩৫৩ মিমি। এই ১ পয়েন্টের টাইপে গুগুলপ্লেক্স সংখ্যাটি এক লাইনে লিখলে এই লাইন হবে ৩.৫৭ ক্ম ১০৯৭ মিটার। আমাদের দৃশ্যমান বা পর্যবেÿণযোগ্য মহাবিশ্বের ব্যাস মাত্র ৮.৮ ক্ম ১০২৬ মিটার বা ৯৩ বিলিয়ন (শতকোটি) আলোকবর্ষ। গুগুলপ্লেক্সের সবগুলো জিরো বসিয়ে লিখলে লাইনের দৈর্ঘ্য হবে আমাদের দৃশ্যমান মহাবিশ্বের এই ব্যাসের চেয়ে ৪ ক্ম ১০৭০ গুণ বড়। আর এই গুগুলপ্লেক্স সংখা লিখতে একজনের সময়ও লাগবে প্রচুর। একজন যদি সেকেন্ডে দু’টি অঙ্ক লেখেন, তবে গুগলপ্লেক্স সংখ্যাটি লিখতে তার সময় লাগবে ১.৫১ ক্ম ১০৯২ বছর, যা মহাবিশ্বের বয়সের ১.১ ক্ম ১০৮২ গুণ।

একটি পস্ন্যাঙ্ক স্পেসের আয়তন হচ্ছে ‘পস্ন্যাঙ্ক দৈর্ঘ্য ক্ম পস্ন্যাঙ্ক দৈর্ঘ্য ক্ম পস্ন্যাঙ্ক দৈর্ঘ্য’। আর ১ পস্ন্যাঙ্ক দৈর্ঘ্য = ১.৬১৬১৯৯(৯৭) ক্ম ১০-৩৫ মিটার। তাহলে একটি পস্ন্যাঙ্ক স্পেসের আয়তন = মোটামুটি ৪.২২ ক্ম ১০-১০৫ ঘনমিটার = ৪.২২ ক্ম ১০-৯৯ ঘন সেন্টিমিটার, যা সবচেয়ে ছোট মাপনযোগ্য আয়তন। ২.৩ ঘন সেন্টিমিটার মোটামুটিভাবে ধারণ করে এক গুগুল পস্ন্যাঙ্ক স্পেস। আমাদের পর্যবেণযোগ্য মহাবিশ্বের আয়তন মাত্র ৪ ক্ম ১০৮০ ঘনমিটার। এর অপর অর্থ পুরো পর্যবেণযোগ্য মহাবিশ্বে রয়েছে ৯.৫ ক্ম ১০১৮৪ পস্ন্যাঙ্ক স্পেস। অতএব, পর্যবেণযোগ্য মহাবিশ্বের পস্ন্যাঙ্ক স্পেসের সংখ্যার চেয়ে গুগুলপ্লেক্স আরও অনেক বেশি বড় সংখ্যা।

বিশুদ্ধ গণিতে বড় বড় সংখ্যা প্রকাশ করার বেশ কিছু প্রতীক ব্যবহার পদ্ধতি (নোটেশন্যাল মেথড) রয়েছে। সেসব পদ্ধতি ব্যবহার করেও গুগুলপ্লেক্স সংখ্যাটি প্রকাশ করা যায়। যেমন : tetration, Knuth’s up-arrow notation, Steinhaus-Moser notation, or Conway chained arrow notation । বড় বড় সংখ্যা লেখার এই লিখন পদ্ধতি সম্পর্কে সময় ও সুযোগ পেলে আরেকটি লেখায় তুলে ধরার চেষ্টা করব।
আমাদের এই ভৌত দুনিয়ায় পর্যবেÿণযোগ্য মহাবিশ্বে যতসংখ্যক হাইড্রোজেন অ্যাটম রয়েছে, সে সংখ্যার চেয়েও বড় হচ্ছে গুগুল সংখ্যাটি। মোটামুটি অনুমিত হিসাব মতে, আমাদের পর্যবেণযোগ্য মহাবিশ্বে হাইড্রোজেন অ্যাটমের সংখ্যা ধরা হয় ১০৮৯ থেকে ১০৮১-এর মধ্যে। এক গুগুল আবার বিগব্যাং পরবর্তী সময়ে অতিবাহিত ‘পস্ন্যাঙ্ক টাইমের’ সংখ্যার চেয়ে ৮ ক্ম ১০৬০ গুণ বড়। উলেস্নখ্য, পস্ন্যাঙ্ক টাইম হচ্ছে পদার্থবিজ্ঞানের সময়ের একটি একক। এটি হচ্ছে সেই সময়, যা হলো একটি পদার্থহীন ভ্যাকুয়াম বা শূন্যগর্ভ মাধ্যমে এক Planck Length অতিক্রম করে, আর এই পস্ন্যাঙ্ক দৈর্ঘ্যের পরিমাণ হচ্ছে ১.৬১৬১৯৯(৯৭) ক্ম ১০-৩৫ মিটার। ফুটের হিসাবে ৫৩.০২৫ ক্ম ১০-৩৮ ফুট।

এ তো গেল গুগুল সংখ্যাটির কথা। গুগুলপ্লেক্স সংখ্যাটি তো আরও অনেক অনেক বড়। অতএব আমাদের ভৌত দুনিয়ায় গুগুলপ্লেক্স সংখ্যার মতো মহাবড় সংখ্যার সাথে তুলনা করার মতো কোনো সংখ্যার উদাহরণ খুঁজে বের করা বড়ই মুশকিল। বলা হয়, প্রোটনয় ব্যতিরেকে বিগ ফ্রিজের মাধ্যমে এ মহাবিশ্ব শেষ হতে আরও সময় লাগবে ১০১০৭৫ বছর। এই বছর সংখ্যাও গুগুলপ্লেক্স সংখ্যার সাথে তুলনার জন্য যথেষ্ট নয়।

গুগুল ও গুগুলপ্লেক্স সংখ্যা দু’টি যে কত বড়, তা বোঝানোর জন্য ভৌত দুনিয়ার এমনই আরও কয়েকটি উদাহরণ হয়তো টানা যাবে, তবে এ পর্যমত্ম দেয়া উদাহরণগুলো থেকে সংখ্যা দু’টির বিশালত্ব পাঠকরা নিশ্চয় আন্দাজ-অনুমান করতে পেরেছেন বলেই মনে হয়।
গণিতদাদু




নয়টি অঙ্ক একটি মজা

আমরা কোনো সংখ্যা বা নম্বর লিখতে দশটি অঙ্কের বা ডিজিটের মধ্য থেকে এক বা একাধিক ডিজিট ব্যবহার করে থাকি। এই ডিজিট বা অঙ্ক দশটি হলো- ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮ ও ৯। যেমন একশ’ সংখ্যা লিখতে লিখি ১০০। আর এই ১০০ সংখ্যাটি লিখতে আমাদের প্রয়োজন হয়েছে একটি ১ এবং দুইটি ০। এখন যদি কাউকে বলা হয় একশ’ (১০০) সংখ্যাটি লিখতে হবে শূন্য (০) বাদে অবশিষ্ট নয়টি অঙ্ক অর্থাৎ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮ ও ৯ দিয়ে এবং এতে এই অঙ্ক নয়টির সব ক’টি একবার করে মানের ধারাক্রম বা সিকুয়েন্স বজায় রেখে লিখতে হবে। দেখা গেছে, এই শর্ত মেনে ০ বাদে বাকি নয়টি অঙ্ক একবার করে ব্যবহার করে একশ’ (১০০) সংখ্যাটি লেখা সম্ভব। এটি যে সম্ভব তাই এখানে দেখানো হলো। প্রথমে অঙ্ক নয়টির মানের ঊর্ধ্বক্রম ধারাবাহিক সাজিয়ে ১০০ লেখার উদাহরণগুলো দেয়া হলো :
১০০ = ১২ + ৩ - ৪ + ৫ + ৬৭ + ৮ + ৯
১০০ = ১২৩ + ৪ - ৫ + ৬৭ - ৮৯
১০০ = ১ + ২ + ৩৪ - ৫ + ৬৭ - ৮ + ৯
১০০ = ১২ + ৩ - ৪ + ৫ + ৬৭ + ৮ + ৯
১০০ = ১২৩ - ৪ - ৫ - ৬ -৭ + ৮ + ৯
১০০ = ১২৩ + ৪ - ৫ + ৬৭ -৮৯
১০০ = ১২৩ + ৪৫ - ৬৭ + ৮ - ৯
১০০ = ১২৩ - ৪৫ - ৬৭ + ৮৯
১০০ = ১২ - ৩ - ৪ + ৫ - ৬ + ৭ + ৮৯
১০০ = ১২ + ৩ + ৪ + ৫ - ৬ -৭ + ৮৯
১০০ = ১ + ২৩ - ৪ + ৫ + ৬ + ৭৮ - ৯
১০০ = ১ + ২৩ - ৪ + ৫৬ + ৭ + ৮ + ৯
১০০ = ১ + ২ + ৩ - ৪ + ৫ + ৬ + ৭৮ + ৯
১০০ = - ১ + ২ - ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ৭৮ + ৯
১০০ = ১ + ২.৩ -৪ + ৫ + ৬.৭ + ৮৯

ওপরের সবগুলো সমাধানে আমরা অঙ্ক নয়টি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে লিখেছি। এবার আমরা শূন্য ছাড়া বাকি নয়টি অঙ্ককে মানের অধোক্রম ধারাক্রমে সাজিয়ে লিখে নিচের সমাধানগুলো পেতে পারি।

১০০ = ৯৮ - ৭৬ + ৫৪ + ৩ + ২১
১০০ = ৯ - ৮ + ৭৬ + ৫৪ - ৩২ + ১
১০০ = ৯৮ + ৭ +৬ - ৫ - ৪ - ৩ + ২ - ১
১০০ = ৯৮ - ৭ - ৬ - ৫ - ৪ + ৩ +২১
১০০ = ৯ - ৮ + ৭৬ - ৫ + ৪ + ৩ + ২১
১০০ = ৯৮ - ৭ + ৬ + ৫ + ৪ - ৩ - ২ - ১
১০০ = ৯৮ + ৭ - ৬ + ৫ - ৪ + ৩ - ২ - ১
১০০ = ৯৮ + ৭ - ৬ + ৫ - ৪ + ৩ + ২ + ১
১০০ = ৯৮ - ৭ + ৬ + ৫ - ৪ + ৩ - ২ + ১
১০০ = ৯৮ - ৭ + ৬ - ৫ + ৪ + ৩ + ২ - ১
১০০ = ৯৮+ ৭ - ৬ - ৫ + ৪ + ৩ - ২ -১
১০০ = ৯৮ - ৭ - ৬ + ৫ + ৪ + ৩ + ২ + ১
১০০ = ৯ + ৮ + ৭৬ + ৫ + ৪ - ৩ + ২ + ১
১০০ = ৯৮ + ৮ + ৭৬ + ৫ - ৪ + ৩ + ২ + ১
১০০ = ৯ - ৮ + ৭ + ৬৫ - ৪ + ৩২ - ১
১০০ = - ৯ + ৮ + ৭৬ + ৫ - ৪ + ৩ + ২১
১০০ = - ৯ + ৮ + ৭ + ৬৫ - ৪ + ৩২ + ১
১০০ = - ৯ - ৮ + ৭৬ - ৫ + ৪৩ + ২ + ১
১০০ = ৯ + ৮৭.৬ + ৫.৩২ - ৪
এখন যদি আমরা অঙ্ক নয়টি ঊর্ধ্বক্রম বা নিমণক্রমে না সাজিয়ে এলোমেলোভাবে সাজাই, তবে সেভাবেও এই অঙ্ক নয়টি দিয়ে দশমিক সংখ্যা তৈরি করে এগুলোতে যোগ, বিয়োগ ও এমনকি গুণ চিহ্ন ব্যবহার করে নানাভাবে ১০০ সংখ্যাটি লিখতে পারি। তেমন কয়েকটি উদাহরণ নিচে দেয়া হলো :
১০০ = ৯১ + ৭.৬৮ + ৫.৩২ - ৪
১০০ = ৯৮.৩ + ৬.৪ - ৫.৭ + ২ - ১
১০০ = ৫৩৮ + ৭ - ৪২৯ - ১৩
১০০ = ৮ ক্ম ৯.১২৫ + ৩৭ - ৬ - ৪ ইত্যাদি।

লণীয়, শেষ চারটি সমাধানের প্রত্যেকটিতে অঙ্ক নয়টির সব ক’টি এলোমেলোভাবে হলেও একবার করে রয়েছে। কোনো অঙ্কই একাধিকবার ব্যবহার হয়নি। এসব সমাধান বিভিন্নজন বিভিন্ন সময়ে আমাদের জানিয়েছেন। হতে পারে, আপনিও চেষ্টা করে দেখলে কয়েকটি এমন সমাধান পেয়ে যেতে পারেন। এজন্য বড় গণিতবিদ হতে হবে, তা কিন্তু নয়। চেষ্টা করেই দেখুন না, পারলে আনন্দটা কিন্তু কম হবে না। কারণ, আবিষ্কার-উদ্ভাবনার আনন্দটাই আলাদা।