মজার গণিত : মে ২০০৯

এক. ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো ব্যবহার করে নিচের খালি ঘরগুলো পূর্ণ করতে হবে যেন তারা প্রদত্ত সম্পর্ক মেনে চলে। উল্লেখ্য, প্রতিটি সংখ্যা একবারের বেশি ব্যবহার করা যাবে না।

ছকের খালি ঘরগুলোতে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো বসবে।

দুই. সাবিবর স্কুলের যাওয়ার জন্য সকাল ৮টায় বাড়ি থেকে বের হলো। বাসস্ট্যান্ডে পৌঁছে দেখে ওখানকার ঘড়িতে বাজে ৮:০৫। হঠাৎ সে খেয়াল করলো গণিত বইটি সাথে আনা হয়নি। বই নেয়ার জন্য বাসায় ফিরে সে দেখল ঘড়িতে বাজে ৮:১৮। ধরে নেয়া যাক, সে যে গতিতে বাসস্ট্যান্ডে গিয়েছিল একই গতিতে ফিরে এসেছে। বাসস্ট্যান্ডের ঘড়ির নির্দেশিত সময় সঠিক।

বলতে হবে সাবিবরের বাসার ঘড়ি কত মিনিট এগিয়ে বা পিছিয়ে আছে।

মজার গণিত : এপ্রিল ২০০৯ সংখ্যার সমাধান

এক. উৎপাদকের বেশ কিছু বৈশিষ্ট্য ফিবোনাচি নাম্বার সিরিজের মাঝে খুঁজে পাওয়া যায়।

০ এবং ১ দিয়ে শুরু হওয়া একটি ফিবোনাচি সিরিজ এধরনের :

০, ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, ৫৫.....ইত্যাদি।

এবার এই নাম্বার সিরিজ থেকে লেখা নিচের প্যাটার্নগুলোর দিকে লক্ষ করা যাক।

১২ + ১২ = ১ × ২
১২ + ১২ + ২২ = ২ × ৩
১২ + ১২ + ২২ + ৩২ = ৩ × ৫
১২ + ১২ + ২২ + ৩২ + ৫২ = ৫ × ৮
১২ + ১২ + ২২ + ৩২ + ৫২ + ৮২ = ৮ × ১৩

দেখা যাচ্ছে যে ফিবোনাচি সিরিজের প্রথম টার্ম বা পদ থেকে শুরু করে নির্দিষ্ট কোনো পদ পর্যন্ত সবগুলোর বর্গের যোগফল নির্দিষ্ট ওই পদ ও তার পরের পদের গুণফলের সমান।

দুই. একটি ফিবোনাচি সিরিজ উপরে দেখানো হয়েছে। ধরাযাক, f1, f2, f3 এবং f4 হলো ফিবোনাচি সিরিজের যেকোনো চারটি ধারাবাহিক পদ। এবার এই পদগুলো থেকে নিচের নিয়ম অনুসারে পিথাগোরাসের ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়।

লম্ব বা ভূমি = মাঝের পদ দু’টি (২য় ও ৩য়) গুণফলের সাথে ২ গুণ করতে হবে।

অতিভুজ = মাঝের দু’টি পদের প্রতিটিকে বর্গ করে তার যোগফল নিতে হবে।

অপর বাহু = প্রথম ও চতুর্থ পদ দু’টি গুণ করতে হবে।

উদাহরণ : ধরি, ফিবোনাচি সিরিজ থেকে পাওয়া চারটি ধারাবাহিক পদ হলো : ১, ১, ২ এবং ৩।

প্রদত্ত নিয়মানুসারে লম্ব বা ভূমি = ২ × ১ × ২ = ৪,

অতিভুজ = ১২ + ২২ = ৫, অপরবাহু = ১ × ৩ = ৩

সুতরাং, পিথাগোরাসের ত্রিভুজের নিয়ম অনুসারে,

লম্ব২ + ভূমি২ = ৪২ + ৩২ = ২৫ = ৫২ = অতিভুজ২।