চটজলদি বিভাজ্যতা বিচার : পর্ব ২

আমাদেরকে প্রায়ই একটি সংখ্যাকে অপর একটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হয়। অনেক সময় অনেক বড় সংখ্যাকে ভাগ করতে হয়। জানাতে হয় ওই সংখ্যাটি কোনো একটি সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য কি না? অর্থাৎ নিঃশেষে ভাগ করা যায় না। যেখানে ভাগশেষে কোনো অবশিষ্ট থাকবে না। আমরা যদি পুরো ভাগ প্রক্রিয়াটি করে দেখি, তবে জানতে পারব তা নিঃশেষে বিভাজ্য কি না। কিন্তু ভাগের কাজটি করার আগেই চটজলদি আমরা বলে দিতে পারি আসলে তা নিঃশেষে বিভাজ্য কি না। কিন্তু কী করে? তাই চটজলদি জানবার কিছু কৌশল নিয়েই এ লেখা।

১২ দিয়ে বিভাজ্য

কোনো সংখ্যা ১২ দিয়ে বিভাজ্য কি না তা জানার জন্য আমাদের দুটি কাজ করতে হবে। সংখ্যাটি ৩ এবং ৪ এই উভয় সংখ্যা দিয়ে একই সাথে বিভাজ্য হলে তা ১২ দিয়েও বিভাজ্য হবে। এর আগে আমরা শিখেছি একটি সংখ্যা ৩ দিয়ে, ৪ দিয়ে বিভাজ্যতা পরীক্ষা করার নিয়ম।

উদাহরণ : ধরা যাক আমরা পরীক্ষা করে দেখতে চাই ৫৯১৭৫৪৩২ সংখ্যাটি ১২ দিয়ে বিভাজ্য কি না?

প্রথমে আমরা দেখবো সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য কি না।

এখানে দেয়া সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি হচ্ছে ৫+৯+১+৭+৫+৪+৩+২ = ৩৬, যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য।

অতএব ৫৯১৭৫৪৩২ সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য।

এবার দেখব সংখ্যাটি ৪ দিয়ে বিভাজ্য কি না।

এখানে সংখ্যাটির শেষ দুটি অঙ্ক দিয়ে তৈরি সংখ্যা ৩২, যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য।

অতএব ৫৯১৭৫৪৩২ সংখ্যাটি ৪ দিয়েও বিভাজ্য।

যেহেতু আমরা দেখলাম, ৫৯১৭৫৪৩২ সংখ্যাটি ৩ ও ৪ দিয়ে বিভাজ্য, সেহেতু সংখ্যাটি ১২ দিয়েও বিভাজ্য।

এবার ধরা যাক, আমরা দেখব ৩৯৭৩৭০৯৪ সংখ্যাটি ১২ দিয়ে বিভাজ্য কি না।

এর অঙ্কগুলোর সমষ্টি = ৩+৯+৭+৩+৭+০+৯+৪ = ৪২, যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য। অতএব ৩৯৭৩৭০৯৪ সংখ্যাটি ১২ দিয়ে বিভাজ্য। অপরদিকে এ সংখ্যাটির শেষ দুই অঙ্ক দিয়ে তৈরি সংখ্যা ৯৪ বিভাজ্য নয় ৪ দিয়ে। অতএব আমরা দেখছি দেয়া সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য হলেও ৪ দিয়ে বিভাজ্য নয়। যেহেতু ৩ ও ৪ উভয় সংখ্যা দিয়ে ৩৯৭৩৭০৯৪ বিভাজ্য নয়। অতএব এ সংখ্যাটি ১২ দিয়ে বিভাজ্য নয়।

১৫ দিয়ে বিভাজ্য

কোনো সংখ্যা ১৫ দিয়ে বিভাজ্য কি না, তা পরীক্ষার জন্য দেখতে হবে সংখ্যাটি ৩ ও ৫ দিয়ে বিভাজ্য কি না। সংখ্যাটি ৩ ও ৫ দিয়ে বিভাজ্য হলে তা ১৫ দিয়েও বিভাজ্য হবে।

উদাহরণ : প্রশ্ন হচ্ছে ৪৬৯১৯২৪৪০ সংখ্যাটি ১৫ দিয়ে বিভাজ্য কি না?

প্রথমে দেখব, সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য কি না। এখানে সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি = ৪+৬+৯+১+৯+২+৪+৪+০ = ৩৯, যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য।

এবার দেখব, সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য কি না। এ জন্য নজর দিতে হবে সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্কটির ওপর। আমরা জানি কোনো সংখ্যার এককের ঘরে ০ অথবা ৫ থাকলে, সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য হবে। এখানে দেয়া সংখ্যা ৪৬৯১৯২৪৪০-এর এককের ঘরে ০। অতএব সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য।

অতএব দেখা গেল দেয়া সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য, সেই সাথে ৫ দিয়েও বিভাজ্য। সুতরাং ৪৬৯১৯২৪৪০ সংখ্যাটি ১৫ দিয়ে বিভাজ্য হবে।

আবার জানতে চাই ৩২৬৬৪৩ সংখ্যাটি ১৫ দিয়ে বিভাজ্য কি না?

প্রথম দেখবো সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য কি না।

এখানে সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি = ৩+২+৬+৬+৪+৩ = ২৪, যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য।

অতএব ৩২৬৬৪৩ সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য।

এবার দেখব সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য কি না। আমরা জানি, কোনো সংখ্যা ৫ দিয়ে বিভাজ্য হওয়ার শর্ত হচ্ছে সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক অর্থাৎ এককের ঘরের অঙ্ক ০ অথবা ৫ হতে হবে। ৩২৬৬৪৩ সংখ্যাটিতে তা নেই, অতএব এ সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য নয়। সুতরাং ৩২৬৬৪৩ সংখ্যাটি ১৫ দিয়ে বিভাজ্য নয়।

১৬ দিয়ে বিভাজ্য

কী করে জানব একটি সংখ্যা ১৬ দিয়ে বিভাজ্য কি না। এক্ষেত্রে দেখতে হবে সংখ্যাটির শেষ চার অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যাটি ১৬ দিয়ে বিভাজ্য কি না। যদি তা ১৬ দিয়ে বিভাজ্য হয় তবে দেয়া সংখ্যাটিও ১৬ দিয়ে বিভাজ্য হবে।

উদাহরণ : ১০৪৬৬১৯০৪ সংখ্যাটির শেষ চার অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যা ১৯০৪। আর ১৯০৪ সংখ্যাটি ১৬ দিয়ে বিভাজ্য। অতএব ১০৪৬৬১৯০৪ সংখ্যাটি ১৬ দিয়ে বিভাজ্য।

এবার দেখব ৩২১৫৬৪৩৪১ সংখ্যাটি ১৬ দিয়ে বিভাজ্য কি না। সংখ্যাটির শেষ চার অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যা ৪৩৪১ কখনোই ১৬ দিয়ে বিভাজ্য নয়। অতএব ৩২১৫৬৪৩৪১ সংখ্যাটি ১৬ দিয়ে বিভাজ্য নয়।

২৪ দিয়ে বিভাজ্য

কোনো সংখ্যা ২৪ দিয়ে বিভাজ্য হলে তা ৩ দিয়ে যেমনি বিভাজ্য হতে হবে, তেমনি ৮ দিয়েও বিভাজ্য হতে হবে। এ শর্তে পূরণে ব্যর্থ হলে সংখ্যাটি কখনোই ২৪ দিয়ে বিভাজ্য হবে না।

দেখা যাক, ২১০১০৩৫১২ সংখ্যাটি ২৪ দিয়ে বিভাজ্য কি না।

প্রথমে দেখব সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য কি না।

এখানে সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি = ২+১+০+১+০+৩+৫+১+২ = ১৫, যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য, আবার সংখ্যাটির শেষ ৩টি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যা ৫১২, যা ৮ দিয়ে বিভাজ্য।

দেখা যাচ্ছে, দেয়া ২১০১০৩৫১২ সংখ্যাটি ৩ ও ৮ দিয়ে বিভাজ্য।

অতএব ২১০১০৩৫১২ সংখ্যাটি ২৪ দিয়েও স্পষ্টত বিভাজ্য।

৪০ দিয়ে বিভাজ্য

কী কবে জানব একটি সংখ্যা ৪০ দিয়ে বিভাজ্য কি না। এক্ষেত্রে যদি কোনো সংখ্যা একই সাথে ৫ ও ৮ দিয়ে বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যাটি ৪০ দিয়েও বিভাজ্য হবে। অতএব এক্ষেত্রে আমাদের দেখতে হবে সংখ্যাটি ৫ ও ৮ দিয়ে বিভাজ্য কি না।

উদাহরণ : জানতে চাই, ৩১৯৪৮৫৪১৮০০ সংখ্যাটি ৪০ দিয়ে বিভাজ্য কি না?

প্রথমে দেখি, সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য কি না। আমরা জানি কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্ক ০ অথবা ৫ হলে সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য। অতএব স্পষ্টত ৩১৯৪৮৫৪১৮০০ সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য।

এবার দেখি, দেয়া সংখ্যাটি ৮ দিয়ে বিভাজ্য কি না। এখানে সংখ্যাটির শেষ তিনটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যা ৮০০, যা ৮ দিয়ে বিভাজ্য। অতএব ৩১৯৪৮৫৪১৮০০ সংখ্যাটি ৮ দিয়েও বিভাজ্য।

যেহেতু ৩১৯৪৮৫৪১৮০০ সংখ্যাটি ৫ ও ৮ উভয় সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য, অতএব সংখ্যাটি নিশ্চিতভাবেই ৪০ দিয়ে বিভাজ্য।

দ্বিতীয়ত দেখি, ৭৪৫৪১৩৯৩০ সংখ্যাটি ৪০ দিয়ে বিভাজ্য কি না।

প্রথমে দেখি সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য কি না। যেহেতু সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক ০ এবং আমরা জানি কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্ক ০ অথবা ৫ হলে সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য, অতএব আমরা সহজেই বলতে পারি ৭৪৫৪১৩৯৩০ সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য।

এবার দেখতে হবে এ সংখ্যাটি ৮ দিয়ে বিভাজ্য কি না। সংখ্যাটির শেষ তিনটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যা ৯৩০, যা ৮ দিয়ে বিভাজ্য নয়। এতএব দেয়া সংখ্যাটি ৮ দিয়ে বিভাজ্য নয়।

যেহেতু দেখা গেল, ৭৪৫৪১৯৩০ সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য হলেও ৮ দিয়ে বিভাজ্য নয়, অতএব এ সংখ্যাটি ২৪ দিয়ে বিভাজ্য নয়।

৮০ দিয়ে বিভাজ্য

কী করে পরীক্ষা করবে কোনো সংখ্যা ৮০ দিয়ে বিভাজ্য কি না। এক্ষেত্রে আমরা দেখি সংখ্যাটি ৫ দিয়েও বিভাজ্য এবং একই সাথে ১৬ দিয়েও বিভাজ্য, তবে স্পষ্টত সংখ্যাটি ৮০ দিয়ে বিভাজ্য হবে।

উদাহরণ : আমরা জানতে চাই, ৫৭০৭০৭২৯৮৪০ সংখ্যাটি ৮০ দিয়ে বিভাজ্য কি না।

প্রথমে দেখি, সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য কি না। আমরা জানি কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্ক অর্থাৎ সবচেয়ে ডানের অঙ্ক যদি ০ অথবা ৫ হয়, তবে সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য। অতএব দেয়া সংখ্যাটি স্পষ্টতই ৫ দিয়ে বিভাজ্য, কারণ এর একদম ডানের অঙ্কটি ০।

এবার দেখি, ৫৭০৭০৭২৯৮৪০ সংখ্যাটি ১৬ দিয়ে বিভাজ্য কি না। এখানে সংখ্যাটির ডান পাশের প্রথম চার অঙ্ক দিয়ে গঠিত ৯৮৪০ সংখ্যাটি ১৬ দিয়ে বিভাজ্য। অতএব পরীক্ষাধীন সংখ্যাটি ১৬ দিয়ে বিভাজ্য।

অতএব আমরা দেখলাম ৫৭০৭০৭২৯৮৪০ সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য এবং একই সাথে ১৬ দিয়েও বিভাজ্য, অতএব সংখ্যাটি ৮০ দিয়ে বিভাজ্য।

এবার জানতে চাই ৯৪২১৩২৮৩০ সংখ্যাটি ৮০ দিয়ে বিভাজ্য কি না।

প্রথমে দেখব সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য কি না। আমরা জানি যে সংখ্যার শেষ অঙ্ক ০ অথবা ৫, সে সংখ্যা অবশ্যই ৫ দিয়ে বিভাজ্য। অতএব স্পষ্টতই ৯৪২১৩২৮৩০ সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য, কারণ, এর সর্বশেষ অঙ্ক ০।

এবার দেখি সংখ্যাটি ১৬ দিয়ে বিভাজ্য কি না। সংখ্যাটির শেষ চার অঙ্ক নিয়ে গঠিত সংখ্যা হচ্ছে ২৮৩০, যা ১৬ দিয়ে বিভাজ্য নয়। অতএব সংখ্যাটি ১৬ দিয়ে বিভাজ্য নয়।

দেখা গেল ৯৪২১৩২৮৩০ সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য হলেও, ১৬ দিয়ে বিভাজ্য নয়। অতএব সংখ্যাটি কখনোই ৮০ দিয়ে বিভাজ্য নয়।

কজ ওয়েব

গণিতদাদু