এক.
ম্যাজিক স্কয়ার তৈরির নিয়ম আগে আলোকপাত করা হয়েছে। বেজোড় মাত্রার স্কয়ার (যেমন ৩, ৫, ৭) নিয়ে সারি ক, কলাম (ক+১)/২তম ঘর থেকে শুরু করে নিয়ম অনুসারে ম্যাজিক স্কয়ার তৈরি করা হলো। নিচে ৩ ও ৫ মাত্রার দু’টি ম্যাজিক স্কয়ার তৈরি করা হয়েছে। বলতে হবে এধরনের ম্যাজিক স্কয়ারের বাম কর্ণ বরাবর সংখ্যাগুলো এর মাত্রার সাথে কিভাবে সম্পর্কিত? উল্লেখ্য, এখানে ‘ক’ ম্যাজিক স্কয়ারের মাত্রা নির্দেশক সংখ্যা।

দুই.
ত্রিভুজীয় সংখ্যা ও পারফেক্ট সংখ্যার মধ্যে কিছু মিল ও সম্পর্ক রয়েছে। সেগুলো কী? ত্রিভুজীয় সংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রে অঙ্ক-মূল বা ডিজিটাল রুট কোনো নির্দিষ্ট নিয়ম বা ধারা মেনে চলে কি?

ডিজিটাল রুট :

কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলো পরস্পর বার বার যোগ করে যেতে হবে যতক্ষণ পর্যন্ত না একটি অঙ্ক পাওয়া যায়। সর্বশেষ ওই অঙ্কটিকে বলা হয় অঙ্ক-মূল বা ডিজিটাল রুট।

...........................................................................................

মজার গণিত : সেপ্টেম্বর ২০০৯ সংখ্যার সমাধান



এক.
গ্রামের বিচক্ষণ মোড়ল সমস্যাটির সমাধান করে সবাইকে রক্ষা করতে পেরেছিলেন। গ্রামে মোট বাসিন্দা ছিলো ২৫ জন। পাঁচটি বাড়িতে পাঁচজন করে অবস্থান করে তারা শর্ত মেনে চলছিল। নতুন চারজন আগন্তুক আসার ফলে প্রতিটি বাড়িতে বাসিন্দার সংখ্যা পরিবর্তন করে সমস্যার সমাধান করা হয়েছিল। নিচের চিত্র দেখুন।

গ্রামের চারকোণার বাড়িগুলোর প্রতিটিতে ৭ জন ও মাঝের বাড়িতে ১ জন অবস্থান করে। আর এভাবেই জনসংখ্যা মোট ২৯ জন হলেও গ্রামের কোণাকুণি বরাবর বাড়িগুলোর মোট বাসিন্দার যোগফল হয় ১৫।

দুই.
ত্রিভুজীয় সংখ্যাগুলো হলো : ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১, ২৮, ৩৬ ইত্যাদি।

এবার ঘন সংখ্যার কিছু ধারা দেখা যাক :
১৩ + ২৩ + ৩৩ = ৩৬ = ৬২ = (৩য় ত্রি. স.)২
১৩ + ২৩ + ৩৩ + ৪৩ = ১০০ = ১০২ = (৪র্থ ত্রি. স.)২
১৩ + ২৩ + ৩৩ + ৪৩ + ৫৩ = ২২৫ = ১৫২ = (৫ম ত্রি. স.)২

উপরের ধারা থেকে দেখা গেল : ১ থেকে শুরু করে কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা পর্যন্ত প্রতিটির ঘন-এর যোগফল ধারার শেষতম সংখ্যার সমান ক্রমের ত্রিভুজীয় সংখ্যার বর্গের সমান।