মজার গণিত: সেপ্টেম্বর ২০০৯

এক. একটি আয়তাকার গ্রামে মোট বাড়ির সংখ্যা মোটে পাঁচটি। বাড়িগুলোর অবস্থান গ্রামের চার কোণায় ৪টি ও গ্রামের কেন্দ্রে ১টি। বাড়িগুলোর প্রত্যেকটিতে সদস্য সংখ্যা ৫ জন। সুতরাং গ্রামটির মোট বাসিন্দা ২৫। এর মধ্যে মোড়ল পরিবারও রয়েছে। গ্রামটির অবস্থান দুর্গম জঙ্গলের পাশে হওয়ায় সেখানে বন্যপ্রাণীর আক্রমণের আশঙ্কা ছিল প্রবল। নিরীহ গ্রামবাসীর কাছে এমন কিছু ছিল না, যা দিয়ে বন্যপ্রাণীর আক্রমণ তারা প্রতিহত করবে। তবে একদিন এক জাদুকর এ বিপদ থেকে তাদের রক্ষার ব্যবস্থা করে দিয়েছে। জাদুকর এও বলে গিয়েছে, যদি গ্রামের দুই কর্ণ বরাবর মোট বাসিন্দার সংখ্যা ১৫ হয় কেবল তখনই তার জাদু কাজ করবে অন্যথায় নয়। (চিত্র দেখুন) এক রাতে গ্রামে চারজন আগন্তুক এসে তাদের কাছে আশ্রয় চাইলো। কিন্তু কেউই আগন্তুকদের আশ্রয় দিতে রাজি নয়। সেই সাথে জাদুকরের সাবধানবাণীর কথাও জানিয়ে দিলো তাদের।

পাঠক বলতে হবে, বিচক্ষণ মোড়ল কিভাবে গ্রামে আগন্তুকদের আশ্রয় দিয়েও উদ্ভূত সমস্যার সমাধান করেছিল।

দুই. ত্রিভুজীয় সংখ্যার কিছু বৈশিষ্ট্য নিয়ে গত সংখ্যায় আলোচনা করা হয়েছিল। ১ থেকে শুরু করে কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর ঘনফলের সমষ্টির সাথে ত্রিভুজীয় সংখ্যার নিবিড় সম্পর্ক রয়েছে। সেটি কী?
...........................................................................................

মজার গণিত : আগস্ট ২০০৯ সংখ্যার সমাধান

এক. ক যদি একটি ত্রিভুজীয় সংখ্যা হয় তাহলে (৯×ক + ১) সংখ্যাটিও একটি ত্রিভুজীয় সংখ্যা হবে।

প্রথম থেকে কিছু ত্রিভুজীয় সংখ্যাগুলো হচ্ছে ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১, ২৮, ৩৬ ইত্যাদি।



এ ৩ একটি ত্রিভুজীয় সংখ্যা, সুতরাং (৯×৩ + ১) = ২৮ সংখ্যাটিও হবে একটি ত্রিভুজীয় সংখ্যা, যার অবস্থান ৭ম। ত্রিভুজীয় সংখ্যার প্রদত্ত তালিকা থেকেই এ নিয়মের সত্যতা প্রমাণিত হলো।

ত্রিভুজীয় সংখ্যার ক্ষেত্রে মজার একটি বিষয় হলো এ সংখ্যাগুলোর শেষে কখনোই ২, ৪, ৭ ও ৯ থাকে না।

দুই. ধারাটির প্রথম সংখ্যার ওপর ভিত্তি করে পরের সংখ্যাগুলো এসেছে। সংখ্যাগুলোর ক্রম লক্ষ করলে দেখা যায় দ্বিতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যার তিনগুণ ও পরের সংখ্যাটি দ্বিতীয় সংখ্যা থেকে ২ বেশি। অনুরূপভাবে চতুর্থ সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার তিনগুণ ও তার পরেরটি চতুর্থ সংখ্যা থেকে ২ বেশি। এভাবেই ধারাটি অগ্রসর হয়েছে।

ধারার প্রথম সংখ্যটি ক হলে পরের দু’টি সংখ্যা হলো যথাক্রমে ৩×ক এবং ৩×ক + ২।