এক.

এক থেকে শুরু করে নির্দিষ্ট কোনো সংখ্যা পর্যন্ত অঙ্ক বা সংখ্যাগুলোর যোগফল ত্রিভুজীয় সংখ্যা বলে পরিচিত। এ হিসেবে,

১
১ + ২ = ৩
১ + ২ + ৩ = ৬
১ + ২ + ৩ + ৪ = ১০
১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ = ১৫

এখানে, ১, ৩, ৬, ১০, ১৫ ইত্যাদি ত্রিভুজীয় সংখ্যা। ত্রিভুজীয় সংখ্যা সহজে বের করার পদ্ধতি উদ্ভাবন করেন বিখ্যাত গণিতবিদ কার্ল ফ্রেডরিক গস। এর সূত্রটি হলো- কোনো সংখ্যা ক হলে ত্রিভুজীয় সংখ্যাটি হবে ক×(ক+১)/২।

ত্রিভুজীয় সংখ্যার বৈচিত্রময় অসংখ্য মজার বৈশিষ্ট্য রয়েছে। যেমন, ক একটি ত্রিভুজীয় সংখ্যা হলে (৮×ক + ১) একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। উদাহরণ হিসেবে কোনো একটি ত্রিভুজীয় সংখ্যা ৬ কে নিয়ে পাওয়া যায় (৮×৬ + ১) = ৪৯, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

এখন বলতে হবে, এ ধরনের কী পদ্ধতি অবলম্বন করে একটি ত্রিভুজীয় সংখ্যা থেকে অন্য একটি ত্রিভুজীয় সংখ্যা পাওয়া যায়।

দুই.

নিচে একটি সংখ্যা ধারা দেয়া আছে। ধারাটির সংখ্যাগুলো একটি নিয়ম অনুসরণ করে অগ্রসর হয়েছে। বলতে হবে নিয়মটি কী এবং ক, খ-এর জায়গায় কোন কোন সংখ্যা বসবে।

১০, ৩০, ৩২, ৯৬, ৯৮, ২৯৪, ২৯৬, ক, খ।
...........................................................................................

মজার গণিত : মে ২০০৯ সংখ্যার সমাধান

এক.

১ থেকে ৯ পর্যন্ত অঙ্কগুলো প্রত্যেকটি একবার করে ব্যবহার করে প্রদত্ত ছকটি নিম্নোক্ত উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে।

৪ ৯  ৭ = ৫ ৬  ৮ = ২ ১  ৩

শর্ত মেনে ছকটি আরো একটি উপায়ে পূরণ করা যায়।

২ ৭  ৩ = ৫ ৪  ৬ = ৮ ১  ৯


দুই.

সমস্যায় উল্লেখ করা তথ্য অনুসারে সাবিবর বাসা থেকে ৮টায় বের হয়ে বাসস্ট্যাডে পৌঁছে দেখে সেখানকার ঘড়িতে বাজে ৮:০৫। আবার সে যখন বই নিতে বাসায় ফিরে এলো তখন বাসার ঘড়িতে ৮:১৮ বাজে। উল্লেখ করা হয়েছে বাসস্ট্যান্ডের ঘড়ি সঠিক সময় নির্দেশ করছে, আর ছেলেটির বাসা থেকে বাসস্ট্যান্ডে যেতে ও ফিরতে একই সময় লেগেছে।

ঘটনা পর্যবেক্ষণ করে বলা যায়, বাসা থেকে বের হয়ে আবার বাসায় ফিরতে ছেলেটির সময় লেগেছে মোট ১৮ মিনিট (বাসার ঘড়ি অনুসারে)। যেহেতু যাওয়া আসার জন্য একই সময় লেগেছে তাই বাসস্ট্যান্ডে যেতে লেগেছে ৯ মিনিট আর ফিরতেও লেগেছে ৯ মিনিট। কিন্তু ছেলেটি বাসস্ট্যান্ডে গিয়ে দেখলো সেখানে বাজে ৮:০৫। ওই হিসেবে বাসার ঘড়িতে বাজার কথা ৮:০৯। সুতরাং, বাসার ঘড়ি প্রকৃত সময় থেকে ৪ মিনিট এগিয়ে রয়েছে।